Яким буде загальний вираз для первісних функції f(x) = a² + 10ax + 4x³, де a - стала?

Суть вопроса: Загальний вираз для первісних функцій

Объяснение:
Первісна (інтеграл) функції визначається як обернена операція до похідної. Для знаходження загального виразу для первісної функції f(x) = a² + 10ax + 4x³, де a - стала, ми застосовуємо методи інтегрування для кожного з членів окремо.

Похідна функції a² дасть нам 0, оскільки a² - це стала. Для 10ax застосовуємо правило лінійності, згідно якого похідна сталої множиться на похідну добутку 10ax, що дорівнює 10a. Таким чином, похідна 10ax дорівнює 10a.

Похідна функції 4x³ обчислюється за правилом степеневого інтегрування, згідно якого похідна степеневої функції xⁿ дорівнює n * xⁿ⁻¹. Таким чином, похідна 4x³ дорівнює 12x².

Отже, загальний вираз для первісної функції f(x) = a² + 10ax + 4x³ буде:

F(x) = a²x + 5ax² + x⁴ + C,

де C є константою і представляє будь-яку іншу сталу, що виникає під час інтегрування.

Демонстрация:
Знайдемо первісну функцію для f(x) = 3² + 10(3)x + 4x³.

Розв"язок:
F(x) = 3²x + 5(3)x² + x⁴ + C
= 9x + 15x² + x⁴ + C.

Совет:
Під час розв"язування задач інтегрування важливо знати правила інтегрування для різних видів функцій, таких як степеневі функції, показникові функції, тригонометричні функції тощо. Розв"язування багатьох вправ допоможе зрозуміти ці правила краще і набути практичних навичок.

Задача на проверку:
Знайдіть загальний вираз для первісної функції f(x) = b² + 7bx + 2x², де b - стала.