Які точки зростання та спадання функції f(x)=x⁴+4x-20 та f(x)=8-4x-x³ можна знайти?

Тема вопроса: Точки возрастания и убывания функции

Описание:
Для определения точек возрастания и убывания функции, нам понадобится первая производная функции. Первая производная функции показывает ее скорость изменения и помогает нам найти экстремумы.

Для функции f(x)=x⁴+4x-20:
1. Найдем первую производную функции:
f"(x) = 4x³ + 4.
2. Решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна 0:
4x³ + 4 = 0.
Решением этого уравнения является x = -1.
3. Проверим знаки первой производной в промежутках, образованных найденными корнями (-∞, -1) и (-1, +∞).
Подставим значения x из каждого промежутка в f"(x):
- Для x < -1: f"(-2) = 4(-2)³ + 4 = -20 < 0.
- Для -1 < x: f"(0) = 4(0)³ + 4 = 4 > 0.

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервале (-1, +∞).

Для функции f(x)=8-4x-x³:
1. Найдем первую производную функции:
f"(x) = -3x² - 4.
2. Решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна 0:
-3x² - 4 = 0.
Решением этого уравнения нет действительных корней, так как дискриминант меньше 0.
3. Проверим знаки первой производной в промежутках, образованных разными значениями x, например, (-∞, 0) и (0, +∞).
Подставим значения x из каждого промежутка в f"(x) (возьмем x = -1 и x = 1):
- Для x = -1: f"(-1) = -3(-1)² - 4 = -1 < 0.
- Для x = 1: f"(1) = -3(1)² - 4 = -7 < 0.

Таким образом, функция убывает на всем своем домене (-∞, +∞).

Пример:
Найдите точки возрастания и убывания для функции f(x) = 2x³ - 9x² + 12x.

Совет:
Для лучшего понимания темы точек возрастания и убывания функции, рекомендуется изучить понятие производной функции и ее связь с изменением функции в зависимости от значения аргумента.

Задание для закрепления:
Найдите точки возрастания и убывания для функции f(x) = x³ - 6x² + 9x.