Які корені має рівняння x²-3x-15=0 і як можна перевірити це за теоремою, оберненою до теореми Вієта?

Предмет вопроса: Решение квадратного уравнения с использованием теоремы Виета

Описание:
Для начала требуется решить квадратное уравнение x²-3x-15=0. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта и формулу корней квадратного уравнения, а затем проверить корни, используя теорему, обратную теореме Виета.

Шаг 1: Найдем дискриминант по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
В данном случае, a = 1, b = -3 и c = -15.
Подставим значения в формулу дискриминанта: D = (-3)² - 4 * 1 * (-15) = 9 + 60 = 69.
Получили значение дискриминанта D = 69.

Шаг 2: Решим уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения, которая имеет вид: x = (-b ± √D) / 2a.
Подставим значение дискриминанта и коэффициенты в формулу:
x₁ = (-(-3) + √69) / (2 * 1) = (3 + √69) / 2.
x₂ = (-(-3) - √69) / (2 * 1) = (3 - √69) / 2.

Шаг 3: Проверим корни, используя теорему, обратную теореме Виета. Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.
В данном случае, сумма корней равна: x₁ + x₂ = ((3 + √69) / 2) + ((3 - √69) / 2) = 6 / 2 = 3.
Произведение корней равно: x₁ * x₂ = ((3 + √69) / 2) * ((3 - √69) / 2) = (9 - 69) / 4 = -60 / 4 = -15.
Получили, что сумма корней равна -b/a = 3 и произведение корней равно c/a = -15. Проверка совпадает с теоремой Виета.

Демонстрация:
Уравнение x²-3x-15=0 имеет два корня: x₁ = (3 + √69) / 2 и x₂ = (3 - √69) / 2. Ответ можно проверить, сложив корни и умножив их, чтобы убедиться, что сумма корней равна -(-3)/1=3 и их произведение равно -15/1 = -15.

Совет:
Для лучшего понимания и применения теоремы Виета, полезно знать, что сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, а их произведение равно c/a. Теорема Виета помогает нам связать коэффициенты уравнения с его корнями.

Задача для проверки:
Решите квадратное уравнение 2x² - 5x + 2 = 0 и проверьте корни с помощью теоремы Виета.