What is the solution to the initial value problem Y -6Y=e^X(cos4X-8sin4X), Y(0)=0, Y (0)=5?

Решение задачи по начальным значениям

Инструкция: Дана задача нахождения решения начального значения Y"-6Y=e^X(cos4X-8sin4X) при начальных условиях Y(0)=0 и Y"(0)=5. Для решения этой задачи нам нужно использовать метод вариации постоянных. Мы начинаем с поиска общего решения однородного уравнения Y"-6Y=0. Корни характеристического уравнения равны λ₁=3 и λ₂=-2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид Y_h(x)=c₁e^(3x)+c₂e^(-2x), где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Теперь нам нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что частное решение имеет вид Y_p(x)=a(x)e^x, где a(x) - некоторая функция, которую мы должны определить. Подставляем это в уравнение и находим a(x):

Y_p"(x)-6Y_p(x)=[a""(x)+2a"(x)+a(x)]e^x-6a(x)e^x=e^x(cos4x-8sin4x).

Собираем подобные и получаем следующее дифференциальное уравнение для a(x): a""(x)+2a"(x)-5a(x)=cos4x-8sin4x.

Решаем это неоднородное уравнение и находим частное решение a(x). Подставляем найденное частное решение и общее решение однородного уравнения в исходное уравнение, используя начальные условия Y(0)=0 и Y"(0)=5. Затем находим значения постоянных c₁ и c₂. Полученная функция Y(x) будет являться решением задачи.

Доп. материал: Решите следующую задачу по начальным значениям: Y"-6Y=e^X(cos4X-8sin4X), Y(0)=0, Y"(0)=5.

Совет: Для более глубокого понимания метода вариации постоянных, рекомендуется изучить теорию общего метода решения линейных неоднородных уравнений второго порядка.

Задание: Найдите решение начальной задачи: Y"-4Y=e^(2X)(6cos3X-8sin3X), Y(0)=1, Y"(0)=2.