What is the solution to the equation (9^x-2*3^x)^2-62(9^x-2*3^x)-63>?

Суть вопроса: Решение уравнения (9^x-2*3^x)^2-62(9^x-2*3^x)-63=0

Описание: Чтобы найти решение данного уравнения, мы можем применить замену, чтобы упростить выражение. Заменим *3^x* на *t*. Тогда уравнение примет вид:

*(9^x - 2t)^2 - 62(9^x - 2t) - 63 = 0*

Раскроем квадрат выражения *(9^x - 2t)*:

*(9^x - 2t)^2 = (9^x)^2 - 2(9^x)(2t) + (2t)^2 = 81^x - 36t^x + 4t^2*

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

*(81^x - 36t^x + 4t^2) - 62(9^x - 2t) - 63 = 0*

Распишем и упростим:

*81^x - 36t^x + 4t^2 - 558^x + 124t - 63 = 0*

Теперь объединим похожие слагаемые и установим равенство нулю:

*(81^x - 558^x) + (-36t^x + 124t) + (4t^2 - 63) = 0*

*(9^x)^2 - 62(9^x) + 4t^2 + (-2t)^2 - 63 = 0*

Факторизуем полученное выражение, чтобы решить его:

*(9^x - 2t - 63)(9^x - 2t + 1) = 0*

Теперь мы имеем два равенства, которые могут быть равными нулю:

*9^x - 2t - 63 = 0*

или

*9^x - 2t + 1 = 0*

Решим каждое уравнение относительно *x*:

*9^x - 2*3^x - 63 = 0*

или

*9^x - 2*3^x + 1 = 0*

Пример: Найти решение уравнения: *(9^x-2*3^x)^2-62(9^x-2*3^x)-63=0*.

Совет: Для решения подобных уравнений сначала проведите замену переменной, чтобы упростить выражение. Затем объедините похожие слагаемые и факторизуйте полученное выражение.

Практика: Найдите решение уравнения *2^x - 3^x = 0*.