Выделите наибольшее и наименьшее числовые значения следующих выражений: а) 3cos²a - sin²a б) 4sin⁴a - 4cos⁴a, если

Суть вопроса: Выделение наибольшего и наименьшего числовых значений в выражениях с тригонометрическими функциями

Объяснение: В данной задаче нам требуется найти наибольшее и наименьшее числовые значения для выражений с тригонометрическими функциями. Для решения этой задачи нам не потребуется использовать квадратный корень.

а) Выражение 3cos²a - sin²a можно привести к более простому виду, используя тригонометрические тождества. В данном случае можно использовать формулу sin²a + cos²a = 1, чтобы заменить cos²a в выражении. Заменим cos²a на 1 - sin²a и получим: 3(1 - sin²a) - sin²a. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 3 - 3sin²a - sin²a. Упростим выражение: 3 - 4sin²a.

Таким образом, наибольшее числовое значение будет равно 3, а наименьшее -4.

б) Выражение 4sin⁴a - 4cos⁴a также можно привести к более простому виду, используя тригонометрические тождества. В данном случае мы можем использовать формулы sin²a = 1 - cos²a и cos²a = 1 - sin²a. Заменим sin⁴a и cos⁴a в выражении на (1 - cos²a)² и (1 - sin²a)² соответственно. Получим: 4(1 - cos²a)² - 4(1 - sin²a)². Раскроем скобки и упростим выражение:

4(1 - 2cos²a + cos⁴a) - 4(1 - 2sin²a + sin⁴a).

Упрощая, получим: 4 - 8cos²a + 4cos⁴a - 4 + 8sin²a - 4sin⁴a.

Таким образом, наибольшее числовое значение будет 4, а наименьшее будет -4.

Доп. материал:
а) Наибольшее значение в выражении 3cos²a - sin²a равно 3, а наименьшее значение равно -4.
б) Наибольшее значение в выражении 4sin⁴a - 4cos⁴a равно 4, а наименьшее значение равно -4.

Совет: Для решения подобных задач полезно знать основные тригонометрические тождества и уметь приводить выражения к простым формам, используя эти тождества. Не забывайте упрощать выражения, выделять общие члены и использовать изученные математические свойства.

Задача для проверки: Найдите наибольшее и наименьшее числовые значения в выражении 2sin²x - cos²x.