Вы должны доказать делимость выражения (11n+4)^2-49 на 11 при любых натуральных значениях. Can you demonstrate that

Содержание: Делимость выражения (11n+4)^2-49 на 11

Инструкция: Для доказательства делимости выражения (11n+4)^2-49 на 11 для любых натуральных значений, мы можем воспользоваться свойством делимости на 11. Число делится на 11, если и только если разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях кратна 11.

Давайте разложим выражение (11n+4)^2-49 на множители.

(11n+4)^2-49 = 121n^2 + 88n + 16 - 49
= 121n^2 + 88n - 33

Мы видим, что все коэффициенты при n являются целыми числами, поэтому можем применить свойство делимости на 11.

Сумма цифр на нечетных позициях равна 1 + 1 + 8 + 3 = 13.

Сумма цифр на четных позициях равна 2 + 1 + n^2 + 8n = n^2 + 8n + 3.

Разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях равна (n^2 + 8n + 3) - 13 = n^2 + 8n - 10.

Теперь нам нужно доказать, что разность n^2 + 8n - 10 делится на 11 для любых натуральных значений n. Если мы представим разность как (n - 3)(n + 5), мы видим, что один из множителей будет кратен 11. Таким образом, выражение (11n+4)^2-49 будет кратно 11 для всех натуральных значений n.

Пример:
Если n = 2, то (11*2 + 4)^2 - 49 = (22 + 4)^2 - 49 = 26^2 - 49 = 676 - 49 = 627, что делится на 11.

Совет: В этом задании важно помнить свойство делимости на 11 и умение разложить выражение на множители. При работе над подобными задачами полезно самостоятельно проводить проверки на различных значениях переменной, чтобы увидеть закономерность делимости и лучше понять логику доказательства.

Закрепляющее упражнение: Докажите, что выражение (11n+7)^2-121 делится на 11 для любых натуральных значениях n.