Вам потрібно підтвердити, що для всіх значень дійсного числа а нерівність (2а-5)(2а+5)-(3а-2)2{ displaystyle leqslant

Название: Решение неравенства

Объяснение:

Для доказательства выполнения неравенства (2а-5)(2а+5)-(3а-2)2 ≤ 2(а-12) для всех значений действительного числа а, мы можем использовать метод дистрибутивности и математической алгебры.

Давайте разберемся пошагово:

1. Раскроем скобки слева и справа выражения:
(2а-5)(2а+5) - (3а-2)2 ≤ 2(а-12)
(4а^2 - 25) - (9а^2 - 12а + 4) ≤ 2а - 24

2. Раскроем скобку (3а-2)2 и получим:
4а^2 - 25 - 9а^2 + 12а - 4 ≤ 2а - 24
-5а^2 + 12а - 29 ≤ 2а - 24

3. Перенесем все члены в левую часть неравенства:
-5а^2 + 10а - 5 ≤ 0

4. Проверим знак неравенства. Неравенство имеет вид ax^2 + bx + c ≤ 0, где a = -5, b = 10 и c = -5. Чтобы определить знак неравенства, построим график функции y = -5а^2 + 10а - 5.

Алгоритм для построения графика:
a) Раскрасить восходящую ветвь параболы, если a < 0 и
b) Раскрасить нисходящую ветвь параболы, если a > 0.

5. В этом случае a = -5 < 0, поэтому раскрасим восходящую ветвь параболы.

Теперь нам нужно узнать, где функция y = -5а^2 + 10а - 5 пересекает ось x.
Для этого решим уравнение -5а^2 + 10а - 5 = 0.

Решаем уравнение и находим корни:
а = 1 и а = 1

6. Изобразим получившийся график с помощью осей и точек пересечения с осью x.

Зеленая линия представляет собой график функции y = -5а^2 + 10а - 5.

Зоны, где график находится ниже или на уровне оси x (y ≤ 0), являются решениями неравенства.

По графику видно, что для всех значений действительного числа а неравенство (2а-5)(2а+5)-(3а-2)2 ≤ 2(а-12) выполняется.

Совет: Для более подробного понимания доказательства неравенства, рекомендуется изучить темы по алгебре и решению неравенств. Отработка навыков решения уравнений и неравенств поможет лучше понять и применять подобные принципы в других задачах.

Задача для проверки: Решите следующее неравенство: (3x - 2)(x + 5) + 6(x - 4) ≤ 2(x - 3) + 4x + 1