В окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника ABC, случайным образом выбираются две точки D и E. Найдите

Задача: В окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника ABC, случайным образом выбираются две точки D и E. Найдите вероятность того, что отрезок DE:
а) не пересекает ни одну из сторон треугольника.
б) пересекает ровно две стороны треугольника.
Решение:

а) Для того чтобы отрезок DE не пересекал ни одну из сторон треугольника ABC, он должен находиться внутри круга, независимо от выбора точек D и E. Рассмотрим одну из сторон треугольника, например, сторону AB. Точка D должна находиться по одну сторону от AB, а точка E - по другую. Вероятность выбора точки D по одну сторону от AB равна 1/2. Поскольку точка E может находиться только по другую сторону, вероятность выбора точки E составляет 1/2. Таким образом, общая вероятность того, что отрезок DE не пересекает ни одну из сторон треугольника, равна произведению вероятностей выбора точек D и E: 1/2 * 1/2 = 1/4.

б) Чтобы отрезок DE пересекал ровно две стороны треугольника ABC, он должен проходить через одну из вершин треугольника (A, B или C), но не проходить через стороны. Количество возможных вариантов выбора двух точек D и E равно 3, так как каждая из вершин треугольника может быть выбрана в качестве точки пересечения. Таким образом, вероятность выбора отрезка DE, который пересекает ровно две стороны треугольника, равна 3/6 = 1/2.

Пример использования:
а) В окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает ни одну из сторон треугольника.
б) В окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что отрезок, соединяющий эти точки, пересекает ровно две стороны треугольника.

Совет: Для понимания данной задачи полезно визуализировать равносторонний треугольник и окружность описанную вокруг него. Также имейте в виду, что треугольник ABC может быть повернут вокруг окружности, исходный расчет вероятности останется прежним.

Упражнение:
В окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC, случайным образом выбираются две точки D и E. Найдите вероятность того, что отрезок DE:
а) не пересекает ни одну из сторон треугольника.
б) пересекает ровно две стороны треугольника.