Теория графов
В лагере отдыхает группа из 50 школьников. Мы знаем, что среди любых четырех школьников обязательно найдется хотя
В лагере отдыхает группа из 50 школьников. Мы знаем, что среди любых четырех школьников обязательно найдется хотя бы один, который знаком с остальными тремя. Докажите, что в этой группе найдется школьник, который знаком со всеми остальными школьниками.
20.12.2023 04:56
Написать свой ответ:
Разъяснение: Для доказательства данного факта воспользуемся методом противоположного предположения. Предположим, что в группе из 50 школьников ни у одного из них нет знакомства со всеми остальными школьниками. Рассмотрим одного школьника из этой группы, у которого наименьшее число знакомых. Пусть это число равно k, где k < 50. Так как ни у одного школьника нет знакомства со всеми остальными, то для каждого школьника, кроме выбранного, количество его знакомых будет не меньше k + 1.
Теперь рассмотрим граф, где каждый школьник представлен вершиной, а ребра соединяют школьников, которые знакомы друг с другом. Согласно условию задачи, между любыми четырьмя вершинами есть ребро. Если для каждого школьника количество его знакомых не меньше k + 1, то у каждой вершины в графе степень не меньше k + 1.
Теперь подсчитаем количество ребер в таком графе. Поскольку среди любых четырех вершин есть ребро, то для каждой вершины степень будет не меньше k + 1, а значит количество ребер будет не меньше, чем k * 50 / 2, где 50/2 - это количество возможных пар вершин в полном графе из 50 вершин, так как каждую пару учитываем дважды.
Но мы знаем, что в полном графе из 50 вершин может быть не больше 50 * 49 / 2 ребер, так как каждую пару учитываем дважды. Получается, что k * 50 / 2 не больше 50 * 49 / 2, что эквивалентно k не больше 48.
Таким образом, мы пришли к противоречию, поскольку изначально предположили, что k < 50. Значит, в группе из 50 школьников найдется школьник, который знаком со всеми остальными школьниками.
Совет: Чтобы более легко понять данное доказательство, рекомендуется визуализировать граф и представлять условие задачи в виде ребер между вершинами.
Дополнительное задание: В группе из 25 школьников, для каждых трех школьников найдется хотя бы один, который знаком с остальными двумя. Докажите, что в этой группе найдется школьник, который знаком со всеми остальными школьниками.