Упростите выражение. (m+n)/(m^(2/3)-m^(1/3)*n^(1/3)+n^(2/3

Тема урока: Упрощение выражения с рациональными показателями степени.

Объяснение: Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулой разности кубов, которая выглядит следующим образом: \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\).

Исходя из данной формулы, мы можем заметить, что у нас есть разность кубов в числителе. Давайте проведем соответствующие преобразования:

Выражение: \(\frac{{m+n}}{{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}}\)

Мы можем представить \(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\) как разность кубов: \((m^{\frac{1}{3}})^3 - (m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}})^3\)

Теперь мы можем преобразовать исходное выражение следующим образом:

\(\frac{{m+n}}{{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}} = \frac{{m+n}}{{(m^{\frac{1}{3}} - m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}) \cdot (m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}}\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{{m+n}}{{(m^{\frac{1}{3}} - m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}) \cdot (m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}}\).

Совет: При упрощении выражений с рациональными показателями степеней, всегда стоит обратить внимание на возможные формулы или закономерности, которые могут быть применены для преобразования выражения.

Задача для проверки: Упростите выражение: \(\frac{{a^{\frac{5}{4}} - b^{\frac{5}{4}}}}{{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}}\)

Упрощение выражения:

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулой суммы кубов по трем членам:

(a^3 + b^3) = (a + b) * (a^2 - ab + b^2)

Применяя эту формулу к выражению (m^(2/3) - m^(1/3) * n^(1/3) + n^(2/3))^3, мы получим:

(m^(2/3))^3 + (n^(2/3))^3 - 3 * m^(2/3) * n^(2/3) * (m^(1/3) * n^(1/3))^3

Далее, мы можем заметить, что (m^(2/3))^3 - 3 * m^(2/3) * n^(2/3) * (m^(1/3) * n^(1/3))^3 + (n^(2/3))^3 является точно таким же выражением, как и исходное, только с противоположными знаками.

Таким образом, наше исходное выражение может быть выражено как 2 * (m^(2/3))^3 - 3 * m^(2/3) * n^(2/3) * (m^(1/3) * n^(1/3))^3.

Следуя этой логике, мы можем записать наше упрощенное выражение:

2 * (m^(2/3))^3 - 3 * m^(2/3) * n^(2/3) * (m^(1/3) * n^(1/3))^3

Таким образом, упрощенное выражение будет выглядеть так.