Требуется провести исследование функции у=f(x), используя методы дифференциального исчисления, и нарисовать график

Суть вопроса: Методы дифференциального исчисления

Разъяснение:
Для проведения исследования функции у=f(x) и построения ее графика, используя методы дифференциального исчисления, нам понадобятся следующие шаги:

1. Найдите производную функции, применив правила дифференцирования для каждого члена. В данном случае, у нас есть функция у=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Дифференцирование каждого члена даст нам у"=x^2-28x+49.

2. Найдите точки экстремума. Для этого приравняйте производную к нулю и решите уравнение x^2-28x+49=0. Найденные значения x будут координатами точек экстремума.

3. Найдите точки перегиба функции. Для этого найдите вторую производную, выполнив дифференцирование производной, найденной на предыдущем шаге. В данном случае, вторая производная равна у""=2x-28. Приравняйте ее к нулю и найдите значения x, которые будут координатами точек перегиба.

4. Определите интервалы возрастания и убывания функции, а также выпуклости и вогнутости функции в зависимости от значений производной и второй производной на соответствующих интервалах.

5. Постройте график функции, используя полученную информацию и определенные точки экстремума и перегиба. График должен отражать изменения функции на разных интервалах и показывать ее поведение в зависимости от значений производной и второй производной.

Например:
Решим задачу по построению графика у=1/3(x^3-14x^2+49x-36) и проведению исследования функции с использованием методов дифференциального исчисления.

Совет:
1. Во время проведения исследования функции с помощью дифференциального исчисления, не забывайте проверять условия существования производной и второй производной на определенных интервалах.
2. Внимательно анализируйте значения производной и второй производной для определения типа поведения функции (возрастание или убывание, выпуклость или вогнутость) на каждом интервале.

Закрепляющее упражнение:
Найдите производную y" функции у=3x^2-42x+49 и определите точку экстремума. Затем найдите вторую производную y"" и определите точку перегиба.