Сколько задач успеет решить школьник за оставшиеся 5 недель, если он будет увеличивать количество решаемых задач каждую

Тема: Решение задач на арифметическую прогрессию

Объяснение: Для решения данной задачи необходимо использовать понятие арифметической прогрессии. В данной ситуации, количество решаемых задач каждую неделю увеличивается на 8, начиная со второй недели. Это означает, что каждую неделю школьник будет решать на 8 задач больше, чем в предыдущую неделю. Задача заключается в определении общего количества задач, которые школьник успеет решить за 5 оставшихся недель.

Для решения задачи, сначала найдем общее количество решенных задач за 9 недель – 540. Затем посчитаем количество задач, решенное школьником за первую неделю, используя формулу арифметической прогрессии:

\[a_1 = a + (n - 1)d\],

где \(a_1\) – первый член прогрессии; \(a\) – первый член прогрессии за первую неделю; \(n\) – номер недели (в данном случае 2); \(d\) – разность (в данном случае 8).

Вычисляем \(a_1\):

\[a_1 = a + (n - 1)d = a + (2 - 1) \cdot 8 = a + 8\].

Теперь у нас есть информация для составления уравнения:

\[540 = a + 8 + (a + 16) + (a + 24) + \ldots + (a + 32) + (a + 40).\]

Количества членов прогрессии в сумме и разности равны 5, так как всего 5 недель осталось.

Суммируем и упрощаем выражение:

\[540 = 5a + 160.\]

Теперь решим полученное уравнение:

\[5a + 160 = 540.\]

\[5a = 540 - 160.\]

\[5a = 380.\]

\[a = 380/5.\]

\[a = 76.\]

Таким образом, школьник решил 76 задач за первую неделю. Чтобы найти общее количество задач, решенных за 5 оставшихся недель, мы можем использовать формулу суммы прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a + l),\]

где \(S_n\) – сумма прогрессии; \(n\) – количество членов прогрессии; \(a\) – первый член прогрессии; \(l\) – последний член прогрессии.

В нашем случае \(n\) равно 5, \(a\) равно 76, а \(l\) можно найти, используя формулу:

\[l = a + (n - 1)d,\]

где \(d\) равно 8 (увеличение задач каждую неделю).

Вычисляем \(l\):

\[l = a + (n - 1)d = 76 + (5 - 1) \cdot 8 = 76 + 4 \cdot 8 = 76 + 32 = 108.\]

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти общую сумму задач:

\[S_5 = \frac{5}{2}(76 + 108).\]

\[S_5 = \frac{5}{2}(184).\]

\[S_5 = 5 \cdot 92.\]

\[S_5 = 460.\]

Таким образом, школьник успеет решить 460 задач за оставшиеся 5 недель.

Совет: Для решения задач на арифметическую прогрессию, важно использовать правильную формулу \(a_1 = a + (n - 1)d\) для нахождения первого члена прогрессии. Также важно точно определить количество членов прогрессии (в данном случае, сколько недель осталось), чтобы использовать правильную формулу суммы прогрессии \(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\).

Дополнительное задание: Сколько всего задач успеет решить школьник за 7 оставшихся недель, если он будет увеличивать количество решаемых задач каждую неделю на 5, начиная с третьей недели, и уже решил 380 задач за первые 4 недели?