Сколько времени потребуется, чтобы расстояние между двумя велосипедистами стало минимальным? Какое будет

Содержание вопроса: Оптимизация задачи на поиск минимума

Инструкция: Для решения этой задачи нам понадобится основное представление о принципе оптимизации функций.

Представим, что два велосипедиста стартуют из одной точки и движутся прямолинейно с постоянными скоростями. Пусть $x_1(t)$ и $x_2(t)$ - функции, описывающие положение велосипедистов в момент времени $t$. Тогда расстояние между ними может быть выражено как $d(t) = |x_2(t) - x_1(t)|$. Наша задача - найти такой момент времени, когда расстояние минимально.

Для этого мы должны найти экстремум функции $d(t)$. Для начала найдем производную функции $d(t)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы проверяем, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом, и выбираем минимальное расстояние.

Демонстрация: Предположим, что функции описывающие положение велосипедистов заданы следующим образом: $x_1(t) = 3t^2 + 2t + 1$ и $x_2(t) = -t^2 - 3t + 5$. Найти момент времени, когда расстояние между ними минимально и какое будет это минимальное расстояние.

Совет: Для лучшего понимания оптимизации задач, рекомендуется изучить аналитическую геометрию и дифференциальное исчисление.

Ещё задача: Пусть $x_1(t) = 5t^3 - 4t^2 + t$ и $x_2(t) = 2t^3 + 3t^2 - 2t$. Найдите момент времени, когда расстояние между ними будет минимальным и какое будет это минимальное расстояние.