Сколько корней уравнения sin12xcos22x=sin22xcos12x на интервале [−9π;10π]?

Предмет вопроса: Решение уравнения с использованием тригонометрических функций

Инструкция:
Для решения уравнения sin12xcos22x = sin22xcos12x на заданном интервале необходимо найти количество корней данного уравнения.

Для начала заметим, что данное уравнение состоит из произведения тригонометрических функций и оно будет верно только при значениях углов, при которых обе стороны уравнения равны 0 или при значениях, при которых обе стороны имеют одинаковые значения и не равны 0.

Таким образом, мы должны решить следующую систему уравнений:
1) sin12x = 0 и cos22x = 0
2) sin12x = sin22x и cos22x ≠ 0

Решим первую систему уравнений:
1) sin12x = 0
Так как sinθ = 0, когда θ равен 0, π, 2π, 3π, ..., то мы получаем следующие значения для x:
x = 0, π/12, 2π/12, 3π/12, ..., 11π/12

2) cos22x = 0
Аналогично, как и в предыдущем случае, cosθ = 0, когда θ = π/2, 3π/2, 5π/2, ... Таким образом, получаем:
x = π/44, 3π/44, 5π/44, ..., 79π/44

Решим вторую систему уравнений:
sin12x = sin22x
Мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:
sinA = sinB => A = B или A + B = π

Таким образом, 12x = 22x или 12x + 22x = π.
В первом случае x = 0, а во втором случае x = π/34

Итак, на интервале [-9π; 10π] у нас есть 84 корня, которые получены из решения первой и второй систем уравнений.

Совет:
Для лучшего понимания данного материала рекомендуется ознакомиться с основами тригонометрии и тригонометрическими тождествами. Упражнения на решение подобных уравнений помогут закрепить материал.

Упражнение:
Решите уравнение sin4x + cos6x = 1 на интервале от 0 до 2π.