Сколько корней имеет уравнение 23−−√tgx−6=0 в интервале (0;π/2)?

Суть вопроса: Решение тригонометрического уравнения.

Описание: Для решения данного уравнения, нам необходимо использовать знания о тригонометрии и алгебре. Давайте разберемся по шагам.

1. Начнем с переписывания уравнения: 23 - √tg(x) - 6 = 0

2. Перенесем -6 на другую сторону уравнения: 23 - √tg(x) = 6

3. Теперь избавимся от корня, возводя обе части уравнения в квадрат:

(23 - √tg(x))^2 = 6^2

4. Раскрываем скобки и получаем:

23^2 - 2 * 23 * √tg(x) + (√tg(x))^2 = 36

5. Упрощаем:

529 - 46√tg(x) + tg(x) = 36

6. Переносим все на одну сторону:

tg(x) - 46√tg(x) + 493 = 0

7. Тут мы замечаем, что данное уравнение является квадратным относительно переменной tg(x). Пусть z = √tg(x). Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

z^2 - 46z + 493 = 0

8. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-46)^2 - 4 * 1 * 493 = 2116 - 1972 = 144

9. Поскольку D > 0, имеются два корня.

10. Используем формулу для нахождения корней:

z1 = ( -(-46) + √144 ) / (2*1) = (46 + 12) / 2 = 58 / 2 = 29

z2 = ( -(-46) - √144 ) / (2*1) = (46 - 12) / 2 = 34 / 2 = 17

11. Обратимся к выражению, которое мы ввели ранее: z = √tg(x)

12. Находим значения tg(x) для каждого значения z:

tg(x1) = (29)^2 = 841

tg(x2) = (17)^2 = 289

13. Поскольку tg(x) не может быть отрицательным в интервале (0;π/2), полученные значения не подходят.

14. Значит, уравнение 23−−√tgx−6=0 не имеет корней в интервале (0;π/2).

Задание: Найдите все корни уравнения 2cos^2(x) - cos(x) = 0 в интервале (0;2π).