Сколько компьютеров нужно проверить, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,99, что отклонение доли

Тема урока: Использование формулы Чебышева для оценки с вероятностью не менее 0,99

Описание:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Чебышева, которая позволяет нам оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Формула Чебышева выглядит следующим образом:
\[P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]

Где:
- \(P(|X - \mu| \geq k\sigma)\) - вероятность отклонения случайной величины \(X\) от её математического ожидания \(\mu\) более чем на \(k\) стандартных отклонений \(\sigma\).
- \(k\) - количество стандартных отклонений, на которое мы хотим оценить отклонение.
- \(|X - \mu|\) - модуль разности между случайной величиной \(X\) и её математическим ожиданием \(\mu\).

В нашем случае мы хотим, чтобы отклонение доли качественных изделий от 0,7 было не более 0,01 с вероятностью не менее 0,99. Мы можем переписать это условие следующим образом:
\[P(|p - 0,7| \geq 0,01) \leq 0,01^2\]

Где \(p\) - доля качественных изделий.
Теперь мы можем использовать формулу Чебышева для определения значения \(k\), которое удовлетворяет нашим условиям.

Как известно, стандартное отклонение доли можно определить по формуле: \(\sigma =\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\), где \(n\) - количество компьютеров, которое нужно проверить.

Исходя из этих данных, мы можем подставить значения в формулу Чебышева и решить её для определения значения \(n\).

Пример:
Задача: Сколько компьютеров нужно проверить, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,99, что отклонение доли качественных изделий от 0,7 будет не более 0,01?
Решение: Мы хотим, чтобы \(P(|p - 0,7| \geq 0,01) \leq 0,01^2\).
Подставляя значения в формулу Чебышева, получаем:
\(\frac{1}{{k^2}} \leq 0,01^2\).
Решая это неравенство, находим, что \(k \geq 0,1\).

Теперь мы можем использовать формулу для стандартного отклонения доли \(\sigma =\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
Подставляя значения, получаем:
\(\sqrt{\frac{0,7(1-0,7)}{n}} \leq 0,1\).
Решая это неравенство относительно \(n\), мы найдем минимальное значение \(n\), которое удовлетворяет нашим условиям.

Совет:
Для лучшего понимания концепции формулы Чебышева и её применения, рекомендуется ознакомиться с теорией статистики и используемыми формулами для оценки вероятностей и стандартных отклонений.

Задача для проверки:
Сколько раз нужно бросить монету, чтобы быть уверенным с вероятностью не менее 0,95, что отклонение доли выпадения герба от 0,5 будет не более 0,02?