Сколько дробей с числителем, равным 1, могло быть написано на доске, если известно, что их сумма равна 1, и одна
Сколько дробей с числителем, равным 1, могло быть написано на доске, если известно, что их сумма равна 1, и одна из этих дробей равна 1/13?
02.12.2023 07:43
Объяснение: Данная задача требует найти количество дробей с числителем, равным 1, которые могли быть написаны на доске. Известно, что сумма этих дробей равна 1, а одна из дробей равна 1/13.
Пусть искомое количество дробей равно n. Так как одна из дробей уже известна (1/13), остается найти количество оставшихся дробей, которые должны быть равны сумме 1 - 1/13, то есть 12/13.
Мы знаем, что для двух дробей a/b и c/d, их сумма равна (a*d + c*b)/(b*d). В данном случае у нас сумма равна 12/13, поэтому можно записать следующее:
(1/d) + (12/13d) = 1, где d - знаменатель оставшихся дробей.
Теперь, чтобы найти общий знаменатель, умножим оба уравнения на 13d:
13d + 12 = 13d
Решив это уравнение, получаем:
12 = 0
Заметим, что уравнение не имеет решения, что означает, что оставшиеся дроби не могут существовать. Следовательно, на доске могла быть только одна дробь с числителем, равным 1, и это 1/13.
Закрепляющее упражнение: Найдите количество дробей с числителем, равным 1, которые могли быть написаны на доске, если их сумма равна 1, и одна из этих дробей равна 1/3.
Описание: Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться алгеброй и логикой. Мы знаем, что одна из дробей равна 1/13. Для удобства обозначим количество оставшихся неизвестных дробей как "n". Обозначим значения этих неизвестных дробей как 1/d1, 1/d2,..., 1/dn. Чтобы найти количество дробей с числителем, равным 1, нужно сосчитать, сколько раз встречается числитель 1 в сумме всех дробей.
Сумма всех дробей будет выглядеть так: 1/13 + 1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dn = 1
Умножим обе части уравнения на 13*d1*d2*...*dn (произведение всех знаменателей), чтобы избавиться от знаменателей:
13*d1*d2*...*dn + 13*d2*d3*...*dn + ... + 13*d1*d2*...*d(n-1) = 13*d1*d2*...*dn
Теперь обратим внимание на каждое слагаемое. В каждом из слагаемых, кроме последнего, есть множитель 13, значит, число 13 должно делиться на каждый из знаменателей (d1, d2,...,dn). И так как числитель каждой дроби равен 1, то каждый из знаменателей должен делиться на 13. Можно заключить, что знаменатели равны 13, тогда имеем:
13*13*...*13 + 13*13*...*13 + ... + 13*13*...*13 = 13*13*...*13
Теперь мы знаем, что n дробей с числителем, равным 1, могут быть написаны на доске при условии, что их сумма равна 1 и одна из дробей равна 1/13. Количество этих дробей равно количеству неизвестных знаменателей, то есть n = dn = 13.
Например: В задаче сказано, что одна из дробей равна 1/13. Сколько всего дробей с числителем, равным 1, могло быть написано на доске?
Совет: Чтобы решить подобные задачи, вы можете использовать алгебру и логику. Обратите внимание на свойства дробей и пытайтесь вывести логические заключения из условий задачи.
Закрепляющее упражнение: В классе было написано 5 дробей с числителем, равным 1. Сумма этих дробей равна 3/7. Какой может быть знаменатель у каждой из этих дробей?