Сізге теңсіздіктер жүйесін шешу керек: {х²-3х+4> 0 {х²-16

Тема: Решение квадратных неравенств

Инструкция:
Для решения квадратных неравенств необходимо использовать методы и правила, основанные на свойствах квадратных уравнений. Цель состоит в том, чтобы найти значения переменной, для которых неравенство будет выполняться.

Предположим, у нас есть два квадратных неравенства:

1) х² - 3х + 4 > 0
2) х² - 16 ≤ 0

Для начала, разберемся с первым неравенством:

1) Найдем корни квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства. Для этого используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты при соответствующих степенях переменной x. В нашем случае, a = 1, b = -3 и c = 4. Вычисляем D: D = (-3)² - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = -7. Так как D отрицательный, то у уравнения нет действительных корней, и значит, левая часть неравенства всегда положительна.
2) Теперь, чтобы задать значения x, при которых левая часть неравенства положительна, пользуемся знаком между корнями уравнения. Но так как у нас нет корней, то неравенство выполняется при любых значениях x.

Теперь перейдем ко второму неравенству:

1) Выразим левую часть неравенства в виде полного квадрата: х² - 16 = (х - 4)(х + 4).
2) Уравнение (х - 4)(х + 4) ≤ 0 выполняется, когда один из множителей равен нулю. Поэтому, для решения неравенства, необходимо рассмотреть два случая:
- х - 4 ≤ 0 и х + 4 ≥ 0
- х - 4 ≥ 0 и х + 4 ≤ 0

Решением первого случая является интервал (-∞, -4] объединенный с [4, +∞), так как мы ищем значения x, при которых один множитель меньше или равен нулю, а второй больше или равен нулю.

Решением второго случая является только значение x = -4, так как для него выполняются оба условия из второго случая.

Окончательно, решением исходного неравенства является объединение двух наборов решений: (-∞, -4] объединенный с [4, +∞) и {x = -4}.

Пример:
Задача: Решите неравенство: х² - 3х + 4 > 0.

Решение:
Дано неравенство: х² - 3х + 4 > 0.
Так как D = (-3)² - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = -7 < 0, уравнение не имеет действительных корней и левая часть неравенства всегда положительна.
Следовательно, для любых значений x неравенство будет выполняться.

Совет: При решении квадратных неравенств, важно правильно вычислить дискриминант и использовать свойства квадратных уравнений. Запомните, что при D < 0 уравнение не имеет решений, а когда уравнение представлено в виде полного квадрата, решением неравенства будет конкретный интервал или отдельное значение переменной.

Ещё задача: Решите неравенство: х² - 16 ≤ 0.