Шукаємо інтервали зростання та спадання функції f(x)=8-4x-x^3

Тема: Поиск интервалов возрастания и убывания функции f(x)=8-4x-x^3

Пояснение: Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции f(x), мы должны проанализировать ее производную.

1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производные каждого члена выражения отдельно и сложим их вместе:

f'(x) = -4 - 3x^2

2. Приравняем производную к нулю и решим это уравнение, чтобы найти точки экстремума:

-4 - 3x^2 = 0

3x^2 = -4

x^2 = -4/3

Поскольку уравнение не имеет действительных корней, то у функции f(x) нет точек экстремума.

3. Теперь анализируем знак производной в разных интервалах:

- Если f'(x) < 0, то функция f(x) убывает на данном интервале.
- Если f'(x) > 0, то функция f(x) возрастает на данном интервале.

Анализируя знаки производной, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции f(x).

4. Учитывая то, что f'(x) = -4 - 3x^2, мы можем установить следующие интервалы:

- Функция f(x) возрастает, когда -∞ < x < -√(4/3).
- Функция f(x) убывает, когда -√(4/3) < x < √(4/3).
- Функция f(x) возрастает, когда √(4/3) < x < +∞.

Именно на этих интервалах функция f(x) меняет свое поведение - она либо возрастает, либо убывает.

Пример использования: Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x) = 8 - 4x - x^3.

Совет: Чтобы лучше понять поведение функции, постройте график функции и выделите найденные интервалы.

Упражнение: Найдите интервалы возрастания и убывания функции g(x) = 3x^2 - 6x + 2.