Сделайте доказательство того, что последовательность, заданная выражением an=3n2-17n+1, возрастает

Тема: Доказательство возрастания последовательности.

Инструкция: Для доказательства того, что последовательность an=3n^2-17n+1 возрастает, мы должны показать, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Для этого мы рассмотрим разность между двумя последовательными членами и установим, что эта разность положительна.

Выражение an=3n^2-17n+1 представляет собой квадратичную функцию n с положительным коэффициентом для старшего члена n^2. Учитывая это, можно утверждать, что при увеличении значения n результат выражения 3n^2-17n+1 также будет увеличиваться.

Для доказательства возрастания последовательности мы проанализируем разность между двумя последовательными членами:

an+1 - an = (3(n+1)^2-17(n+1)+1) - (3n^2-17n+1)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

an+1 - an = 3(n^2+2n+1)-17n-17+1 -3n^2+17n-1

Упростим выражение:

an+1 - an = 3n^2+6n+3-17n-17+1 -3n^2+17n-1

an+1 - an = 6n-30

Теперь нам нужно показать, что выражение 6n-30 всегда положительно для всех значений n. Мы замечаем, что при n ≥ 5, выражение 6n-30 будет положительным.

Таким образом, разность между двумя последовательными членами всегда положительна при n ≥ 5, что подтверждает возрастание последовательности.

Дополнительный материал:
Докажите, что последовательность an=n^2+3n+2 возрастает.

Совет:
Чтобы лучше понять концепцию доказательства возрастания последовательности, рекомендуется изучить свойства и графики квадратичных функций.

Задание:
Проверьте, возрастает ли последовательность bn=2^n.