Решите уравнение 2cos(x+П/4)=tgx+ctgx на интервале [3п/2;3п

Тема урока: Решение уравнения 2cos(x+π/4) = tg(x) + ctg(x) на интервале [3π/2, 3π]

Описание:

Дано уравнение: 2cos(x+π/4) = tg(x) + ctg(x) на интервале [3π/2, 3π]

Давайте решим его пошагово:

Шаг 1: Преобразование тангенсов

tg(x) = sin(x)/cos(x), а ctg(x) = cos(x)/sin(x)

tg(x) + ctg(x) = (sin(x)/cos(x)) + (cos(x)/sin(x)) = (sin^2(x) + cos^2(x))/(cos(x)*sin(x))

tg(x) + ctg(x) = (1/(cos(x)*sin(x)))

Шаг 2: Замена

Заменим tg(x) + ctg(x) на 1/(cos(x)*sin(x)) в исходном уравнении:

2cos(x+π/4) = 1/(cos(x)*sin(x))

Шаг 3: Преобразования косинуса

Перепишем косинус суммы в виде произведения:

2(cos(x)cos(π/4) - sin(x)sin(π/4)) = 1/(cos(x)*sin(x))

2(√2/2 * cos(x) - √2/2 * sin(x)) = 1/(cos(x)*sin(x))

√2cos(x) - √2sin(x) = 1/(cos(x)*sin(x))

Шаг 4: Приведение подобных

Умножим обе части уравнения на (cos(x)*sin(x)), чтобы избавиться от знаменателя:

(√2cos(x) - √2sin(x)) * (cos(x)*sin(x)) = (1/(cos(x)*sin(x))) * (cos(x)*sin(x))

√2cos^2(x)sin(x) - √2sin^2(x)cos(x) = 1

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю

Приведем правую сторону к общему знаменателю и упростим выражение:

√2cos^2(x)sin(x) - √2sin^2(x)cos(x) = (cos(x)*sin(x))/(cos(x)*sin(x))

√2cos^2(x)sin(x) - √2sin^2(x)cos(x) = 1

Шаг 6: Факторизация и решение

Факторизуем выражение:

cos(x)sin(x)(√2cos(x) - √2sin(x)) = 1

cos(x)sin(x) = 1/(√2cos(x) - √2sin(x))

Шаг 7: Решение уравнения

Решим полученное уравнение, разделив обе части на cos(x)sin(x):

1 = 1/(√2 - √2tan(x))

1/(√2 - √2tan(x)) = 1

√2 - √2tan(x) = 1

√2tan(x) = √2 - 1

tan(x) = (√2 - 1)/√2

x = arctan((√2 - 1)/√2)

Демонстрация: Решите уравнение 2cos(x+π/4) = tg(x) + ctg(x) на интервале [3π/2, 3π]

Совет: При решении подобных уравнений, важно применять алгебраические преобразования, чтобы избавиться от знаменателей и привести к общему знаменателю. Не забывайте проверять полученные значения с помощью оригинального уравнения, так как при переходе к новым выражениям иногда могут появляться дополнительные решения.

Дополнительное задание: Решите уравнение 3cos(2x - π/3) = tg(x) на интервале [0, 2π]