Решите уравнение: 12^u−4⋅6^u+3⋅3^u=0. 1. После проведения преобразований получим квадратное уравнение

Тема урока: Решение показательных уравнений

Инструкция:
Для решения данного показательного уравнения, мы можем преобразовать его с использованием свойств степеней и логарифмов, чтобы получить квадратное уравнение. Затем мы можем найти корни квадратного уравнения и проверить их с использованием исходного показательного уравнения.

1. Проведение преобразований:
Распишем исходное показательное уравнение и приведем его к виду квадратного уравнения:

12^u−4⋅6^u+3⋅3^u=0

Перепишем 6^u как (2^u)⋅(3^u):

(2^2)⋅(3^2)^u−4⋅(2^u)⋅(3^1)^u+3⋅3^u=0

Далее, приведем подобные степени чисел:

(2^2⋅3^2)^u−4⋅2^u⋅3^u+3⋅3^u=0

(4⋅9)^u−4⋅2^u⋅3^u+3⋅3^u=0

36^u−4⋅2^u⋅3^u+3⋅3^u=0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида y^2−...y+...=0, с коэффициентами:

a = 36, b = -4⋅2⋅3 = -24, c = 3

2. Проверка корней квадратного уравнения:
Найдем корни квадратного уравнения. Подставим значения a, b и c в формулу дискриминанта и найдем его значение:

D = b^2 - 4ac

D = (-24)^2 - 4(36)(3)

D = 576 - 432

D = 144

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Найдем их, используя формулу:

y1,2 = (-b ± √D) / 2a

y1 = (-(-24) + √144) / (2⋅36)

y1 = (24 + 12) / 72

y1 = 36 / 72

y1 = 0.5

y2 = (24 - 12) / 72

y2 = 12 / 72

y2 = 0.1667

Таким образом, меньший корень равен y2 = 0.1667.

3. Ответ:
Для нахождения корней показательного уравнения, вспомним связь между показательными и логарифмическими функциями:

y = a^x ↔ x = log_a(y)

Наши корни выглядят следующим образом:

x1 = log_3(0.1667)

x2 = log_3(0.5)

Мы можем оставить логарифмический корень в виде выражения.

Совет:
При работе с показательными уравнениями, помните о взаимосвязи между показателями и логарифмами. Используйте правила свойств степеней и логарифмов для раскрытия и преобразования уравнений. Также не забывайте проверять полученные корни, подставляя их обратно в исходное уравнение и проверяя его равенство нулю.

Проверочное упражнение:
Решите показательное уравнение: 5^(2x-1) = 125. Найдите значение x.