Проанализировать и решить задачу нелинейной оптимизации с одной переменной. Определить значения x, при которых функция

Тема урока: Нелинейная оптимизация с одной переменной

Описание:
Задача оптимизации заключается в нахождении экстремума (минимума или максимума) функции. В данной задаче мы имеем функцию, которая задана различными выражениями для разных диапазонов значений x.

1. Для участка x ≤ 13:
Функция f(x) = -3x^2 + 3.
Чтобы найти экстремум, необходимо взять производную функции f(x) и приравнять ее к нулю:
f"(x) = -6x = 0.
Отсюда получаем x = 0.
Чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом, можно взять вторую производную функции f(x). В данном случае, f""(x) = -6 < 0, что означает, что найденная точка является максимумом.

2. Для участка x > 13:
Функция f(x) = 2x^2 - 20x - 3.
Также необходимо найти производную f"(x) и приравнять ее к нулю:
f"(x) = 4x - 20 = 0.
Отсюда получаем x = 5.
Вторая производная f""(x) = 4 > 0, что означает, что найденная точка является минимумом.

Таким образом, мы нашли значения x, при которых функция достигает минимума и максимума:
Для минимума: x = 5 (при x > 13).
Для максимума: x = 0 (при x ≤ 13).

Минимальное и максимальное значения функции:
Для минимума: f(5) = 2*5^2 - 20*5 - 3 = -68.
Для максимума: f(0) = -3*0^2 + 3 = 3.

Пример:
Найдите значения x, при которых функция достигает минимума и максимума, а также минимальное и максимальное значения функции f(x) = -3х^2+3, для x ≤ 13 и f(x) = 2x^2-20x-3, для x > 13.

Совет:
При решении задач оптимизации с одной переменной всегда необходимо находить точки экстремума путем приравнивания производной функции к нулю. Затем, используя вторую производную, можно определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом.

Закрепляющее упражнение:
Найдите значения x, при которых функция f(x) = -2x^2 + 4x - 1 достигает минимума и максимума, а также определите минимальное и максимальное значения функции.