Приведите первые три слагаемых в разложении бинома при возрастании степени х и определите коэффициент при х: 1) Возводя

Тема урока: Разложение бинома

Пояснение: Разложение бинома является процессом раскрытия скобок с использованием формулы бинома Ньютона. При возведении бинома в степень, каждый член разложения получается путем сочетания слагаемых их исходного бинома с определенными коэффициентами.

Демонстрация:
1) Возведем (3x + 1) в пятую степень:
Разложение будет иметь вид: (3x + 1)^5 = C(5, 0)(3x)^5(1)^0 + C(5, 1)(3x)^4(1)^1 + C(5, 2)(3x)^3(1)^2 + ...

Первые три слагаемых:
При n = 0: C(5, 0)(3x)^5(1)^0 = 1(3x)^5(1)^0 = 243x^5
При n = 1: C(5, 1)(3x)^4(1)^1 = 5(3x)^4(1)^1 = 405x^4
При n = 2: C(5, 2)(3x)^3(1)^2 = 10(3x)^3(1)^2 = 270x^3

Коэффициент при первой степени х равен 405.

2) Возведем (1 - x) в пятую степень:
Разложение будет иметь вид: (1 - x)^5 = C(5, 0)(1)^5(-x)^0 + C(5, 1)(1)^4(-x)^1 + C(5, 2)(1)^3(-x)^2 + ...

Первые три слагаемых:
При n = 0: C(5, 0)(1)^5(-x)^0 = 1(1)^5(-x)^0 = 1
При n = 1: C(5, 1)(1)^4(-x)^1 = 5(1)^4(-x)^1 = -5x
При n = 2: C(5, 2)(1)^3(-x)^2 = 10(1)^3(-x)^2 = 10x^2

Коэффициент при первой степени х равен -5.

Совет: Для более легкого понимания и запоминания формулы бинома Ньютона, можно систематически записывать все слагаемые, применяя коэффициенты и степени бинома в соответствии с общими формулами. Также полезно ознакомиться с таблицей коэффициентов биномиальных разложений для различных степеней.

Ещё задача: Возвести (2x + 3) в шестую степень и найти коэффициент при второй степени х.