1. Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых составляет 22, а сумма их квадратов равна 250. Ответ должен быть

Тема: Решение уравнений в задачах на нахождение чисел

Описание: Для решения подобных задач можно использовать принципы алгебры. Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Пусть первое число равно х, а второе - у. Тогда у нас есть два уравнения: x + у = 22 и x^2 + у^2 = 250. Решая первое уравнение относительно одной переменной, получим x = 22 - у. Подставляя это значение во второе уравнение, получим (22 - у)^2 + у^2 = 250. Раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые, получим у^2 - 44у + 384 = 0. Решая это квадратное уравнение, получим значения у = 8 и у = 36. Так как мы ищем меньшее число, то ответом будет у = 8.
2. Пусть первое число равно х, а второе - у. Аналогично предыдущей задаче, мы имеем два уравнения: х - у = 4 и х^2 - у^2 = 104. Решая первое уравнение относительно одной переменной, получаем х = у + 4. Подставляя это значение во второе уравнение, получим (у + 4)^2 - у^2 = 104. Раскрыв скобки, сократив подобные слагаемые и упростив уравнение, получим у^2 + 8у - 88 = 0. Решая это квадратное уравнение, получим у = -11 и у = 8. Так как мы ищем большее число, ответом будет у = 8.
3. Пусть первое число равно х, а второе - у. Используя среднее арифметическое двух чисел, получим х + у = 14. Также, имеем уравнение у^2 - х^2 = 56. Формулу разности квадратов используем, чтобы раскрыть скобки: (у - х)(у + х) = 56. Таким образом, для у находим значение 7, а для х -7. Так как нам нужно найти сумму квадратов, получаем 49 + 49 = 98.
4. Пусть первое число равно х, а второе - у. Аналогично двум предыдущим задачам, у нас есть два уравнения: х + у = 12 и (х + у)^2 - (х^2 + у^2) = 70. Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, получаем 2ху = 70. Решая это уравнение, получаем у = 10 и х = 2.
5. Пусть первое число равно х, а второе - х + 1 (так как числа последовательные). Составим следующее уравнение: х^2 + (х + 1)^2 > х(х + 1) + 157. Раскрывая скобки и сокращая подобные слагаемые, получим х^2 + х^2 + 2х + 1 > х^2 + х + 157. Сокращая члены, получаем х^2 + х - 156 > 0. Решая это квадратное уравнение, получим х > 12 и х < -13.
6. Следующую задачу вы можете указать сами.

Совет: Для решения подобных задач лучше всего использовать алгебру. Определите неизвестные, составьте уравнения, раскройте скобки, сократите подобные слагаемые, и решите полученные уравнения, чтобы найти значения неизвестных.

Задача на проверку: Для упражнения решите уравнения для задачи 6, которую вы сами придумаете.

Тема вопроса: Решение квадратных уравнений при помощи метода подбора

Пояснение:
Для решения данных задач мы будем использовать метод подбора, чтобы найти значения двух неизвестных чисел.

1. Для первой задачи, давайте предположим, что меньшее число равно x. Значит, другое число будет (22 - x). Теперь, согласно условию данной задачи, мы можем сформулировать уравнение: x + (22 - x) = 22 и x^2 + (22 - x)^2 = 250. Решая эти уравнения, мы находим, что x = 9.

2. Для второй задачи, предположим, что большее число равно x. Тогда другое число будет равно (x - 4). Запишем уравнения: (x - 4) - x = 4 и (x - 4)^2 - x^2 = 104. Решив эти уравнения, мы находим, что x = 15.

3. Для третьей задачи, предположим, что числа равны x и y, соответственно. Тогда, согласно условию задачи, мы можем записать уравнения: (x + y)/2 = 7 и x^2 - y^2 = 56. Решим первое уравнение, найдем x = 14 - y. Подставим это значение во второе уравнение и найдем решение: (14 - y)^2 - y^2 = 56. Решив это квадратное уравнение, мы получим y = 2. Подставляем значение y = 2 в первое уравнение и получаем x = 12. Суммой квадратов этих чисел будет 12^2 + 2^2 = 148.

4. Для четвертой задачи, предположим, что числа равны x и y. У нас есть два уравнения: (x + y)/2 = 6 и (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 70. Решим первое уравнение и получим x + y = 12. Подставляем это значение во второе уравнение и находим, что x^2 + y^2 = 162. Решив эти уравнения, мы находим, что x = 10 и y = 2.

5. Для пятой задачи, предположим, что первое число равно x. Тогда второе число будет x + 1. Запишем уравнение: x^2 + (x + 1)^2 - x(x + 1) = 157. Решив это уравнение, мы найдем, что x = 7. Таким образом, первое число равно 7, а второе число равно 8.

6. Для шестой задачи, нам нужно больше информации, чтобы решить ее. Пожалуйста, предоставьте дополнительные данные.

Совет:
При решении подобных задач, важно аккуратно формулировать уравнения, предположения и систематически решать каждое уравнение. Если полученные значения не соответствуют условию задачи, необходимо пересмотреть свои предположения и повторить процесс решения.

Задание для закрепления:
Найдите два числа, сумма которых равна 20, а разность их квадратов равна 12.