При каких значениях параметра a функция y=6x^3−18x уменьшается на диапазоне [a+6;a+8]?

Содержание: Функции и их убывание

Описание:

Чтобы выяснить, при каких значениях параметра a функция y = 6x^3 - 18x убывает на интервале [a+6;a+8], мы должны проанализировать производную функции.

Убывание функции происходит, когда ее производная отрицательна.

Сначала найдем производную функции y = 6x^3 - 18x. Для этого производим дифференцирование каждого слагаемого по отдельности и записываем производные вместе:

y" = (18x^2 - 18) = 18(x^2 - 1)

Теперь, чтобы найти значения параметра a, при которых функция убывает на интервале [a+6;a+8], мы должны проверить, когда производная y" меньше нуля на этом интервале.

18(x^2 - 1) < 0

(x^2 - 1) < 0

(x - 1)(x + 1) < 0

Продолжение в следующем сообщении...

Тема вопроса: Функции

Инструкция:
Для того чтобы определить при каких значениях параметра a данная функция y=6x^3−18x будет убывать на интервале [a+6;a+8], нам необходимо проанализировать поведение функции на интервале [a+6;a+8].

Для начала, рассмотрим производную функции y по переменной x. Производная функции покажет нам ее изменение на различных участках.

y" = d(6x^3−18x)/dx = 18x^2 - 18.

Для того, чтобы функция y была убывающей на интервале [a+6;a+8], производная этой функции, которая равна 18x^2 - 18, должна быть отрицательной на данном интервале.

Подставим значения (a+6) и (a+8) в производную функции:

18(a+6)^2 - 18 < 0

18(a+8)^2 - 18 < 0

Теперь решим эти два неравенства относительно параметра a. Вычислим значения, при которых неравенства будут выполняться.

По окончании расчетов, мы получим два интервала для значения параметра a, при которых функция y=6x^3−18x будет убывать на интервале [a+6;a+8].

Доп. материал:
Условие задачи: При каких значениях параметра a функция y=6x^3−18x уменьшается на диапазоне [a+6;a+8]?

Решение:

Для того, чтобы определить при каких значениях параметра a функция уменьшается на интервале [a+6;a+8], решим неравенства 18(a+6)^2 - 18 < 0 и 18(a+8)^2 - 18 < 0 относительно параметра a. По окончании расчетов, получим значения параметра a, при которых функция уменьшается на заданном интервале.

Совет:
Для успешного решения подобных задач, необходимо быть знакомым с понятием производной функции и уметь решать квадратные неравенства.

Задание:
Решите уравнения 18(a+6)^2 - 18 < 0 и 18(a+8)^2 - 18 < 0 относительно параметра a и определите значения параметра, при которых функция y=6x^3−18x будет убывать на интервале [a+6;a+8].