Покажите, что выражение ctg2a-sin4a эквивалентно выражению cos4a×ctg2a

Предмет вопроса: Тригонометрические тождества

Разъяснение: Для того чтобы показать, что выражение ctg2a - sin4a эквивалентно выражению cos4a × ctg2a, мы будем использовать знания о свойствах и тригонометрических тождествах.

1. Давайте начнем с левой части выражения: ctg2a - sin4a.

Сначала мы заменим ctg2a на 1/tg2a, известное тригонометрическое тождество.

ctg2a - sin4a = 1/tg2a - sin4a

2. Теперь мы запишем sin4a как (1 - cos^2(2a)), с использованием формулы sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и замены sin^2(2a) на 1 - cos^2(2a).

1/tg2a - sin4a = 1/tg2a - (1 - cos^2(2a))

3. Далее, мы можем преобразовать выражение 1/tg2a как ctg2a, снова используя тригонометрическое тождество.

ctg2a - (1 - cos^2(2a)) = ctg2a - 1 + cos^2(2a)

4. В конечном итоге, мы можем переписать ctg2a - 1 как (cos^2(2a) - sin^2(2a)), снова используя тригонометрическое тождество.

ctg2a - 1 + cos^2(2a) = cos^2(2a) - sin^2(2a) + cos^2(2a)

5. Теперь мы можем объединить подобные слагаемые слева и справа от знака равенства.

cos^2(2a) - sin^2(2a) + cos^2(2a) = 2cos^2(2a) - sin^2(2a)

Таким образом, мы доказали, что выражение ctg2a - sin4a эквивалентно выражению 2cos^2(2a) - sin^2(2a).

Но как мы можем утверждать, что это равно выражению cos4a × ctg2a? Перепишем выражение cos4a × ctg2a с использованием тригонометрических формул.

cos4a × ctg2a = (cos^2(2a) - sin^2(2a)) × (1/tg2a)

Снова используем тригонометрическое тождество для замены sin^2(2a) на 1 - cos^2(2a) и tg2a на 1/ctg2a.

(cos^2(2a) - sin^2(2a)) × (1/tg2a) = (cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a))) × (1/ctg2a)

Преобразуем это выражение, объединяя подобные слагаемые.

(cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a))) × (1/ctg2a) = 2cos^2(2a) - sin^2(2a)

Таким образом, мы показали, что выражение ctg2a - sin4a эквивалентно выражению cos4a × ctg2a.

Совет: Для лучшего понимания данного материала, рекомендуется ознакомиться с основными тргонометрическими формулами и тригонометрическими тождествами. Важно также знать, как работать с функциями тригонометрии и владеть навыками преобразования и упрощения выражений.

Практика: Упростите выражение (sin^3(x) + cos^3(x))/(sin^2(x) + cos^2(x)) и запишите его в более простой форме.