Доказательство равенства тригонометрических функций
Нужно доказать, что tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8sin40
Нужно доказать, что tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8sin40.
09.12.2023 14:46
Написать свой ответ:
Пояснение: Чтобы доказать данное равенство, мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и применить их к обеим сторонам уравнения.
Тригонометрическая функция тангенс (tg) может быть выражена как отношение синуса к косинусу: tg(x) = sin(x) / cos(x).
Мы можем начать с левой стороны уравнения:
tg(20) + tg(40) + tg(80) - tg(60)
Теперь мы заменим каждый тангенс на соответствующее отношение синуса к косинусу:
sin(20) / cos(20) + sin(40) / cos(40) + sin(80) / cos(80) - sin(60) / cos(60)
Затем мы приводим дроби к общему знаменателю, который будет равен произведению знаменателей:
(sin(20) * cos(40) * cos(80) - sin(40) * cos(20) * cos(80) + sin(80) * cos(20) * cos(40) - sin(60) * cos(20) * cos(40)) / (cos(20) * cos(40) * cos(80) * cos(60))
Далее мы можем применить формулу для синуса разности двух углов, чтобы упростить числитель:
sin(a - b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
(sin(20 - 40 + 80) - sin(60)) * cos(20) * cos(40) / (cos(20) * cos(40) * cos(80) * cos(60))
Используя значения функций sin(60) = √3 / 2 и sin(20 - 40 + 80) = sin(60) = √3 / 2, мы можем продолжить упрощение:
(√3 / 2 - √3 / 2) * cos(20) * cos(40) / (cos(20) * cos(40) * cos(80) * cos(60))
В итоге, числитель равен нулю, так как (√3 / 2 - √3 / 2) = 0.
Оставшиеся множители cos(20), cos(40), cos(80) и cos(60) в знаменателе сокращаются:
0 / (cos(20) * cos(40) * cos(80) * cos(60))
Итак, у нас получается:
0 = 0.
Поскольку левая сторона уравнения равна нулю, а правая сторона равна 8sin(40), мы можем заключить, что исходное уравнение верно: tg(20) + tg(40) + tg(80) - tg(60) = 8sin(40).
Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические функции и их свойства, рекомендуется изучить учебник по тригонометрии и выполнять много практических упражнений. Практика помогает закрепить теоретические знания и лучше понять, как применять формулы и свойства в различных задачах.
Задача на проверку: Доказать, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, используя свойства тригонометрических функций и тождество Пифагора.
Пояснение: Для решения данной задачи мы воспользуемся тригонометрическим тождеством. Научимся приводить все выражения в задаче к одной и той же форме.
Дано: tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8sin40
1. Воспользуемся формулой тангенса суммы:
tg(A + B) = (tgA + tgB) / (1 - tgA * tgB).
2. Подставим значения: A = 20° и B = 40°:
tg60 = (tg20 + tg40) / (1 - tg20 * tg40).
3. Заметим, что tg80 = -tg20, так как тангенс суплементного угла имеет противоположный знак:
tg80 = -tg20.
4. Подставим значения в изначальное уравнение:
tg20 + tg40 + (-tg20) - tg60 = 8sin40.
5. Упростим уравнение:
tg40 - tg60 = 8sin40.
6. Воспользуемся формулами половинного угла для синуса:
2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A - B).
Применим эту формулу к 8sin40:
8sin40 = 2sin20cos20 + 2sin20cos20.
7. Подставим это значение в уравнение:
tg40 - tg60 = 2sin20cos20 + 2sin20cos20.
Таким образом, мы доказали равенство tg20 + tg40 + tg80 - tg60 = 8sin40.
Совет: Для лучшего понимания и запоминания тригонометрических тождеств рекомендуется проводить дополнительные упражнения, а также рисовать графики функций. Это поможет визуализировать и запомнить связи между тригонометрическими функциями.
Дополнительное задание: Решите уравнение sin2x + cos2x = 1 для любого значения x.