Нужно доказать, что элементы последовательности заданной рекуррентно равны 3n

Математика: Доказательство рекуррентности последовательности

Объяснение: Рекуррентная последовательность - это последовательность чисел, в которой каждый элемент определяется в зависимости от предыдущих элементов. Для доказательства рекуррентности заданной последовательности 3n + 1 нам нужно использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Докажем базовый шаг.

Когда n = 1, первый член последовательности равен 3(1) + 1 = 4. То есть, первый член последовательности верно равен 4.

Шаг 2: Предположим, что для некоторого k, k-й член последовательности равен 3k + 1.

Шаг 3: Докажем, что следующий член последовательности, (k + 1)-й член, также равен 3(k + 1) + 1.

Мы знаем, что k-й член равен 3k + 1. Добавляя 3 к обоим сторонам, получаем:
k-й член + 3 = 3k + 1 + 3,
(k + 1)-й член = 3(k + 1) + 1.

Таким образом, если k-й член равен 3k + 1, то (k + 1)-й член также равен 3(k + 1) + 1.

Шаг 4: По принципу математической индукции, мы можем сделать вывод, что все члены последовательности заданной рекуррентно равны 3n + 1.

Совет: Для лучшего понимания математического индукции, рекомендуется просмотреть примеры доказательств рекуррентных последовательностей и проводить дополнительные упражнения.

Упражнение: Докажите рекуррентность следующей последовательности: а) 2^n b) n^2 + 3n - 1