Найти значения a и b, при которых две прямые ax-2y-1=0 и 6x-4y-b=0: пересекаются, параллельны или совпадают

Тема: Решение системы уравнений двух прямых.

Пояснение: Чтобы найти значения \(a\) и \(b\), при которых две прямые пересекаются, параллельны или совпадают, мы должны решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых.

Уравнение прямой в общем виде выглядит так: \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон прямой, а \(c\) - свободный коэффициент.

Для первой прямой \(ax - 2y - 1 = 0\), мы можем переписать его в виде \(2y = ax - 1\), а затем в формате уравнения прямой: \(y = \frac{a}{2}x - \frac{1}{2}\). Таким образом, наклон первой прямой равен \(\frac{a}{2}\), а свободный коэффициент - \(-\frac{1}{2}\).

Аналогичным образом, для второй прямой \(6x - 4y - b = 0\), мы можем переписать его в виде \(4y = 6x - b\), и далее в формате уравнения прямой: \(y = \frac{3}{2}x - \frac{b}{4}\). Здесь наклон второй прямой равен \(\frac{3}{2}\), а свободный коэффициент - \(-\frac{b}{4}\).

Теперь мы можем анализировать их взаимоотношения:
1) Если наклоны прямых (\(\frac{a}{2}\) и \(\frac{3}{2}\)) равны, а свободные коэффициенты (\(-\frac{1}{2}\) и \(-\frac{b}{4}\)) различные, то прямые пересекаются в одной точке.
2) Если наклоны прямых равны и свободные коэффициенты тоже равны, то прямые совпадают.
3) Если наклоны прямых различные, то прямые параллельны.

Демонстрация: Пусть \(a = 4\) и \(b = 7\). Тогда первая прямая будет иметь уравнение \(y = 2x - \frac{1}{2}\), а вторая прямая - \(y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{4}\). В данном случае наклоны прямых различные, поэтому они параллельны.

Совет: Для лучшего понимания концепции решения системы уравнений для двух прямых, вы можете визуализировать каждую прямую на координатной плоскости и анализировать их наклоны и взаимное расположение.

Практика: Найдите значения \(a\) и \(b\), при которых две прямые \(2x - 3y + a = 0\) и \(4x - 6y - b = 0\) пересекаются.