Найдите значения x, при которых уравнение 2/tg^2 x + 7/tg x + 5 равно нулю в диапазоне от 3π

Тема: Решение уравнений в тригонометрии

Пояснение:

Для решения уравнений вида 2/tg^2(x) + 7/tg(x) + 5 = 0, где x - неизвестная переменная, мы будем использовать замену переменных, чтобы сократить сложность уравнения.

Первым шагом заменим tg(x) новой переменной, скажем t. Тогда наше уравнение преобразуется в 2/t^2 + 7/t + 5 = 0. Приведем его к квадратному уравнению.

Умножим обе части уравнения на t^2, чтобы избавиться от знаменателя: 2 + 7t + 5t^2 = 0.

Полученное уравнение является квадратным по t. Решим его с помощью общей формулы для квадратного уравнения: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 5, b = 7 и c = 2.

Теперь зная значения t, найдем значения x. Вернемся к исходному уравнению tg(x) = t и решим его для каждого значения t, полученного из квадратного уравнения.

Демонстрация:

Найдем значения x, при которых уравнение 2/tg^2(x) + 7/tg(x) + 5 = 0 в диапазоне от 3π до 4π.

1. Заменим tg(x) на новую переменную t.
2. Получаем квадратное уравнение 2 + 7t + 5t^2 = 0.
3. Решим его, используя формулу для квадратного уравнения.
4. Получаем два значения t: t₁ ≈ -0.513 и t₂ ≈ -1.287.
5. Найдем значения x, подставляя t₁ и t₂ в уравнение tg(x) = t.
6. Для t₁: x₁ ≈ -arctg(-0.513) ≈ -0.471.
7. Для t₂: x₂ ≈ -arctg(-1.287) ≈ -0.919.

Совет:

Для более уверенного решения уравнений тригонометрии, рекомендуется освоить основные свойства тригонометрических функций и общую формулу для решения квадратного уравнения.

Задача для проверки:

Найдите значения x, при которых уравнение 3/tg^2(x) + 4/tg(x) + 2 = 0.