Найдите значения x, которые удовлетворяют уравнению cos2x- √2 cos (π/2+x)+1=0 и принадлежат отрезку (-5π; -7π/2

Тема урока: Решение тригонометрического уравнения
Объяснение: Для решения данного тригонометрического уравнения cos2x- √2 cos (π/2+x)+1=0, нам нужно найти значения x, которые удовлетворяют уравнению и принадлежат заданному отрезку (-5π; -7π/2).

Давайте пошагово решим это уравнение:

1. Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что cos (π/2 + x) = -sin x и перепишем уравнение в новом виде:

cos 2x - √2(-sin x) + 1 = 0

2. Разложим cos 2x по формуле двойного угла:

2cos^2 x - 1 - √2(-sin x) + 1 = 0

3. Упростим полученное выражение:

2cos^2 x + √2sin x - 1 = 0

4. Перепишем это в виде квадратного уравнения:

2cos^2 x + √2sin x - 1 = 0

2(1 - sin^2 x) + √2sin x - 1 = 0

2 - 2sin^2 x + √2sin x - 1 = 0

-2sin^2 x + √2sin x + 1 = 0

5. Решим полученное квадратное уравнение. Можно заметить, что у нас есть шанс применить подстановку.

Пусть t = sin x. Тогда уравнение примет вид:

-2t^2 + √2t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение в переменной t.

(t - 1)(2t + 1) = 0

Из этого следует:

t - 1 = 0 => t = 1
2t + 1 = 0 => t = -1/2

6. Теперь найдем значения x, используя найденные значения sin x:

Если sin x = 1, то x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.
Если sin x = -1/2, то x = 7π/6 + 2kπ или x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.

7. Однако, нам также дано ограничение на значений x, которые принадлежат отрезку (-5π; -7π/2). Удовлетворяющие этому условию значения x будут:

x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число, и -5π < x < -7π/2.

Совет: Для лучшего понимания решения тригонометрических уравнений, рекомендуется изучать основные тригонометрические функции (sin, cos, tan), формулы двойного и тройного угла, а также методы решения квадратных уравнений.

Дополнительное упражнение: Найдите значения x, которые удовлетворяют уравнению cos^2(x) + 2sin(x) -1 = 0 и принадлежат отрезку (0; π/2).