Найдите значения x, для которых функция y=6x−12cosx достигает экстремума, и определите характер каждой найденной точки

Предмет вопроса: Поиск экстремумов функции

Разъяснение: Чтобы найти значения x, при которых функция y=6x−12cosx достигает экстремума, мы будем использовать производную функции. Экстремумы функции находятся при точках, где производная равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдем производную функции y=6x−12cosx. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:

dy/dx = d(6x)/dx - d(12cosx)/dx

dy/dx = 6 - (-12sinx)

должно быть y"= 6 + 12sinx

Шаг 2: Найдем значения x, когда производная равна нулю или не существует:

6 + 12sinx = 0

sinx = -1/2

x = arcsin(-1/2) ≈ -30° + 360°k или 150° + 360°k, где k - целое число

Шаг 3: Определим характер каждой найденной точки экстремума. Для этого проанализируем знаки второй производной функции или второй производной числителя и знаменателя.

Вычислим вторую производную функции:

d²y/dx² = d(6 + 12sinx)/dx = d(12sinx)/dx

d²y/dx² = 12cosx

При x = -30° + 360°k или 150° + 360°k, где k - целое число, вторая производная равна 12cos(-30°) или 12cos(150°), соответственно.

Таким образом, у нас есть две точки экстремума со следующими характеристиками:

1. При x = -30° + 360°k, где k - целое число, функция имеет минимум.
2. При x = 150° + 360°k, где k - целое число, функция имеет максимум.

Дополнительный материал: Найдите значения x, для которых функция y=6x−12cosx достигает экстремума, и определите характер каждой найденной точки экстремума.

Совет: Хорошим приемом является построение графика функции, чтобы наглядно увидеть точки экстремума. Также стоит понимать, что функция может иметь несколько точек экстремума, поэтому необходимо учитывать все возможные значения x.

Ещё задача: Найдите значения x, для которых функция y=4x-8sinx достигает экстремума, и определите характер каждой найденной точки экстремума. (Вводите значения x в градусах)