Найдите решение уравнения [tex] frac{x {}^{2} - (4a + 5)x - 20a }{x {}^{2} - 4 } = 0[/tex] для различных значений

Содержание вопроса: Решение уравнения для различных значений параметра

Описание:

Дано уравнение [tex]\frac{x^2 - (4a + 5)x - 20a}{x^2 - 4} = 0[/tex], в котором присутствует параметр "а". Нашей целью является нахождение решения уравнения для различных значений этого параметра.

Чтобы найти решение уравнения, мы можем начать с исключения дроби. Уравнение может быть верно только тогда, когда числитель равен нулю.

Таким образом, мы получаем уравнение [tex]x^2 - (4a + 5)x - 20a = 0[/tex].

Теперь, чтобы решить полученное квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение вида [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex], где [tex]a = 1[/tex], [tex]b = -(4a + 5)[/tex] и [tex]c = -20a[/tex].

Используя формулу дискриминанта [tex]D = b^2 - 4ac[/tex], мы можем вычислить значение дискриминанта и определить тип решения уравнения.

Если [tex]D > 0[/tex], то у уравнения есть два различных рациональных корня.

Если [tex]D = 0[/tex], то у уравнения есть один рациональный корень.

Если [tex]D < 0[/tex], то у уравнения нет рациональных корней.

После нахождения значений параметра "а" и дискриминанта, мы можем использовать формулу корней [tex]x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}[/tex], чтобы найти значения "x".

Пример:

Пусть [tex]a = 2[/tex].

Тогда [tex] b = -(4(2) + 5) = -13 [/tex] и [tex] c = -20(2) = -40[/tex].

Вычислим значение дискриминанта: [tex]D = (-13)^2 - 4(1)(-40) = 169 + 160 = 329[/tex].

Так как [tex]D > 0[/tex], уравнение имеет два различных рациональных корня.

Применяя формулу корней, получаем: [tex]x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{329}}{2(1)}[/tex].

Таким образом, решением уравнения при [tex]a = 2[/tex] является [tex]x_1 = \frac{13 + \sqrt{329}}{2}[/tex] и [tex]x_2 = \frac{13 - \sqrt{329}}{2}[/tex].

Совет:

При решении уравнений с параметром, важно оценить влияние параметра на значения корней. Попробуйте выразить корни в зависимости от параметра или построить график, чтобы лучше понять решение.

Дополнительное упражнение:

Найдите решение уравнения для параметров [tex]a = -1[/tex] и [tex]a = 0[/tex].