Найдите решение уравнения 1+log3(x^4+25)=log√3√30x^2+12 на интервале [-2,2

Тема: Решение уравнений со степенными и логарифмическими функциями

Объяснение: Данное уравнение является комбинацией степенной и логарифмической функции. Для его решения мы будем использовать свойства логарифмов и степенных функций.

Шаг 1: Приведем уравнение к виду, в котором будет одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения. Для этого мы выразим выражение под логарифмом на одной стороне уравнения.

1 + log3(x^4+25) = log√3√30x^2+12

log3(x^4+25) = log√3√30x^2+12 - 1

Шаг 2: Используем свойство логарифма, согласно которому logA(x) = logB(x) эквивалентно A = B. Применяя это свойство, мы получим:

x^4 + 25 = (√3√30x^2+12 - 1)^3

Шаг 3: Приведем уравнение к кубическому виду:

x^4 + 25 = (√3√30x^2+12 - 1) * (√3√30x^2+12 - 1) * (√3√30x^2+12 - 1)

Шаг 4: Упростим уравнение и решим его:

x^4 + 25 = (√3√30x^2+12)^2 - 2(√3√30x^2+12) + 1

x^4 + 25 = 3*30*x^4 + 2*√3√30x^2 + 144 - 2*√3√30x^2 - 24x^2 - 24*√3√30x +1

2*√3√30x^2 - 24x^2 - 24*√3√30x - 3*30*x^4 -23 = 0

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной x^2. Решив его, мы найдем значения x на интервале [-2,2; 3,2].

Пример использования: Найдите решение уравнения 1+log3(x^4+25)=log√3√30x^2+12 на интервале [-2,2; 3,2]

Совет: При решении уравнений с логарифмами и степенными функциями, всегда проверяйте полученные значения на их приемлемость в исходном уравнении.

Упражнение: Найдите решение уравнения 1+log2(x^3+16)=log√2√20x^2+8 на интервале [-2,2; 3,2]