Найдите решение тригонометрического уравнения 5cos^2x+6cosx−8=0 в виде: нет решений, -arccos(-2)+2πn, π-arccos0.8+2πn

Тема: Решение тригонометрического уравнения

Инструкция: Для решения данного тригонометрического уравнения, мы можем использовать подходящую замену. Заметим, что данное уравнение содержит косинус, поэтому мы можем воспользоваться свойствами косинуса для нахождения решений.

Заменим cos(x) на t. Получим уравнение вида: 5t^2 + 6t - 8 = 0.

Далее решим полученное уравнение с помощью квадратного трехчлена или факторизации.

Применяя квадратное уравнение, мы находим:
t = (-6 ± √(6^2 - 4*5*(-8))) / (2*5)
t = (-6 ± √(36 + 160)) / 10
t = (-6 ± √196) / 10
t = (-6 ± 14) / 10

Таким образом, получаем два возможных значения t:
t_1 = (-6 + 14) / 10 = 8 / 10 = 0.8
t_2 = (-6 - 14) / 10 = -20 / 10 = -2

Теперь воспользуемся свойствами функции арккосинус (arccos), чтобы найти значения x.

x_1 = arccos(t_1)
x_2 = arccos(t_2)

Также, каждое найденное решение x будет справедливо для любого целого числа n. Поэтому мы добавляем 2πn к каждому решению.

Таким образом, решение тригонометрического уравнения 5cos^2x + 6cosx - 8 = 0 будет выглядеть следующим образом:
x_1 = -arccos(0.8) + 2πn
x_2 = arccos(-2) + 2πn

Совет: Для успешного решения тригонометрических уравнений, важно знать свойства тригонометрических функций и уметь преобразовывать уравнения, чтобы свести их к более простым формам.

Упражнение: Найдите решение тригонометрического уравнения 3sin^2(x/2) + 2sin(x/2) - 1 = 0.