Найдите положительный корень уравнения cos x + cos5x = 0 и представьте ответ в градусах

Содержание вопроса: Решение тригонометрического уравнения

Пояснение: Чтобы найти положительный корень уравнения cos x + cos5x = 0 и представить его в градусах, мы должны использовать свойства тригонометрии и алгебры.

Сначала преобразуем уравнение, выразив cos5x через cos x:

cos x + cos(2x + 3x) = 0

cos x + (cos(2x)cos(3x) - sin(2x)sin(3x)) = 0

cos x + (2cos^2(x) - 1)(4cos^3(x) - 3cos(x)) - 0

Теперь у нас есть уравнение только с переменной cos x. Подставим z = cos x:

z + (2z^2 - 1)(4z^3 - 3z) = 0

Преобразуем его в кубическое уравнение:

8z^5 - 8z^3 + z - z^3 = 0

8z^5 - 9z^3 + z = 0

Мы видим, что z = 0 является одним из корней этого уравнения. Продолжая факторизацию, мы получаем:

z(z^2 - 1)(8z^2 - z - 1) = 0

z = 0 или z^2 - 1 = 0 или 8z^2 - z - 1 = 0

Исключим корни z = 0 и z = -1 из рассмотрения, так как нам нужен положительный корень. Решим два оставшихся квадратных уравнения:

z^2 - 1 = 0

(z - 1)(z + 1) = 0

z = 1 или z = -1

8z^2 - z - 1 = 0

Воспользуемся формулой дискриминанта и найдем значение z:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 8 * (-1) = 1 + 32 = 33

z = (-b ± √D) / (2a) = (1 ± √33) / 16

Мы получили значения для z. Теперь найдем значения для cos x, подставив обратно:

cos x = 1 или cos x = (1 + √33) / 16 или cos x = (1 - √33) / 16

Чтобы выразить ответ в градусах, применим функцию арккосинуса к каждому значению:

x = 0° или x = arccos((1 + √33) / 16) или x = arccos((1 - √33) / 16)

Таким образом, положительные корни уравнения cos x + cos5x = 0 в градусах: 0°, arccos((1 + √33) / 16) и arccos((1 - √33) / 16).

Совет: Для решения тригонометрических уравнений, особенно со сложными выражениями, полезно знать свойства тригонометрических функций и уметь преобразовывать уравнения, используя алгебру. Также важно знать, как использовать тригонометрические функции на калькуляторе для вычисления значений их обратных функций.

Практика: Найдите все положительные корни уравнения sin x - cos^2 x = 0 и представьте их в радианах.

Тема занятия: Решение уравнений тригонометрии

Описание: Для решения данного уравнения, мы будем использовать знания о тригонометрических функциях и свойствах их графиков. Данное уравнение содержит сумму двух косинусов, поэтому мы будем искать точки пересечения их графиков.

1. Найдем решения в интервале от 0° до 360° (полный оборот окружности). Для этого мы будем искать значения x, при которых cos x + cos5x равно нулю.

2. Построим график функции y = cos x + cos5x и найдем точки пересечения с осью OX.

3. Положительные значения корней соответствуют таким значениям x, при которых значение функции y положительно.

4. Найденные точки пересечения представят собой значения x в радианах. Чтобы представить ответ в градусах, умножим каждое значение на 180/π.

Демонстрация:
Найдем положительный корень уравнения cos x + cos5x = 0.

Совет: Для выполнения данной задачи желательно знать основные свойства тригонометрических функций, а также уметь строить графики функций. Если у вас возникли затруднения, вспомните, что косинусная функция имеет период 2π и основные точки значений (1, 0, -1).

Закрепляющее упражнение: Найдите положительные корни уравнения sin x - cos x = 0 и представьте ответ в градусах.