Найдите максимальное и минимальное значение функции f(x) = x^2 + 4/x на интервале [-4;-1

Содержание вопроса: Максимальное и минимальное значение функции

Описание:
Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции, необходимо выполнить несколько шагов. Первым шагом является дифференцирование функции, чтобы найти точки экстремума. Для функции f(x) = x^2 + 4/x необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю:

f"(x) = 2x - 4/x^2

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

2x - 4/x^2 = 0

Умножаем обе части уравнения на x^2 и получаем:

2x^3 - 4 = 0

Решаем уравнение и получаем:

x^3 = 2

x = ∛2

Следующим шагом является проверка второй производной функции для точки экстремума. Вычисляем вторую производную f""(x):

f""(x) = 2 + 8/x^3

Подставляем найденное значение x = ∛2 и находим f""(∛2). Если f""(∛2) > 0, значит, найденная точка является точкой минимума; если f""(∛2) < 0, значит, найденная точка является точкой максимума.

Например:
Итак, найдем максимальное и минимальное значение функции f(x) = x^2 + 4/x на интервале [-4;-1].

1. Находим производную функции: f"(x) = 2x - 4/x^2.
2. Приравниваем производную к нулю и находим решение уравнения: 2x - 4/x^2 = 0.
3. Решаем уравнение и получаем x = ∛2.
4. Вычисляем вторую производную функции: f""(x) = 2 + 8/x^3.
5. Подставляем x = ∛2 и находим f""(∛2). Проверяем знак второй производной.
6. Если f""(∛2) > 0, то x = ∛2 является точкой минимума.
7. Если f""(∛2) < 0, то x = ∛2 является точкой максимума.

Совет:
Для понимания нахождения максимального и минимального значения функции, полезно знать правила дифференцирования и умение решать уравнения. Также важно проверять вторую производную для определения типа экстремума - минимума или максимума.

Дополнительное задание:
Найдите максимальное и минимальное значение функции g(x) = 3x^2 + 2/x^2 на интервале [-2;-1].