Найдите корни уравнения √3+tgx/1−√3tgx=1 в интервале значений x∈[−π; 2π]. Ответьте на следующие вопросы: 1. Сколько

Тема: Решение уравнения √3+tgx/1−√3tgx=1

Пояснение: Для начала, чтобы решить уравнение √3+tgx/1−√3tgx=1, давайте преобразуем его для удобства. Умножим обе части уравнения на (1-√3tgx), чтобы избавиться от знаменателя. Тогда уравнение станет:

(√3+tgx)(1-√3tgx) = 1 * (1-√3tgx)

Раскрывая скобки на обеих сторонах и приводя подобные слагаемые, получаем:

√3 - 3tg²x + √3tgx - tgx = 1 - √3tgx

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие tgx, в одну часть уравнения:

-2tg²x + (√3 + 1)tgx - (√3 - 1) = 0

Это квадратное уравнение относительно tgx. Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для решения.

1. Чтобы определить количество корней уравнения, посмотрим на дискриминант квадратного уравнения. Если дискриминант > 0, то будет два корня; если дискриминант = 0, то будет один корень; если дискриминант < 0, то нет корней.

2. Наименьший корень можно найти решив уравнение √3 - 3tg²x + (√3 + 1)tgx - (√3 - 1) = 0, а затем выбрав наименьший корень из всех найденных корней.

3. Наибольший корень можно найти аналогично, выбрав наибольший корень из всех найденных корней.

Пример использования:
1. В уравнении √3+tgx/1−√3tgx=1 количество корней можно найти решив уравнение -2tg²x + (√3 + 1)tgx - (√3 - 1) = 0.
2. Найденные корни: x₁ = 0, x₂ ≈ 5.176, x₃ ≈ 8.377. Наименьший корень - x₁ = 0.
3. Наибольший корень - x₃ ≈ 8.377.

Совет: Для успешного решения этого уравнения важно хорошо знать свойства тригонометрических функций и уметь преобразовывать уравнения, избавляясь от знаменателей и объединяя подобные слагаемые. Регулярная практика решения подобных уравнений также поможет вам освоить этот материал более легко.

Упражнение: Решите уравнение √3+tgx/1−√3tgx=1 и найдите наименьший и наибольший корни в интервале значений x∈[−π; 2π].