Какую сумму площадей всех квадратов можно получить, если каждый следующий квадрат вписывается в предыдущий квадрат

Тема занятия: Геометрическая прогрессия и площадь квадратов
Инструкция: Для решения этой задачи мы будем использовать концепцию геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. В данной задаче каждая сторона квадрата будет являться членом геометрической прогрессии.

Итак, начинаем с квадрата, сторона которого равна 68 см. Для получения следующего квадрата, мы умножим сторону предыдущего квадрата на один и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Таким образом, площадь каждого квадрата равна квадрату его стороны. Мы начинаем с квадрата со стороной 68 см, поэтому его площадь равна 68^2 = 4624 см^2.

Для вычисления площади следующего квадрата мы умножим сторону предыдущего квадрата на знаменатель прогрессии и возведем в квадрат: (68*q)^2. Таким образом, площадь каждого последующего квадрата будет равна (68*q)^2.

Сумма площадей всех квадратов в геометрической прогрессии может быть найдена по формуле: S = a/(1-q), где S - сумма, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Таким образом, сумма площадей всех квадратов, начиная со стороны 68 см и со знаменателем q, будет равна S = 4624/(1-q).

Дополнительная длина стороны третьего квадрата может быть найдена, вычтя длину стороны второго квадрата из длины стороны третьего квадрата. То есть, длина стороны третьего квадрата будет равна 68*q - 68.

Наибольший квадрат будет иметь сторону 68*q^n, где n - количество квадратов.

Демонстрация:
Задано, что сторона первого квадрата равна 68 см и знаменатель геометрической прогрессии q = 0.5. Найдите сумму площадей всех квадратов, дополнительную длину стороны третьего квадрата и площадь наибольшего квадрата.

Совет:
Чтобы более легко понять геометрическую прогрессию и ее связь с задачей, можно представить предыдущий квадрат как основание, на котором появляется следующий квадрат. В каждом новом квадрате добавляется длина стороны, равная знаменателю прогрессии, к предыдущему квадрату.

Задача для проверки:
При знаменателе геометрической прогрессии q = 0.5 и начиная со стороны квадрата 40 см, найдите сумму площадей всех квадратов в геометрической прогрессии. Какова дополнительная длина стороны третьего квадрата? Какова площадь наибольшего квадрата? Какой знаменатель используется в данной задаче?