Какой угол образуют плоскости, проходящие через точку m(1; -1; -1), при условии, что одна из плоскостей содержит

Тема: Угол между плоскостями, проходящими через заданные точки

Пояснение: Чтобы определить угол между плоскостями, проходящими через заданные точки, можно воспользоваться нормалями этих плоскостей. Нормаль к плоскости - это вектор, перпендикулярный самой плоскости.

Дано, что одна плоскость содержит ось Ox, а другая содержит ось Oz. Вектор направления оси Ox можно записать как i = (1, 0, 0), а вектор направления оси Oz как k = (0, 0, 1).

Поскольку мы знаем, что точка m(1, -1, -1) принадлежит обоим плоскостям, мы можем найти нормали этих плоскостей. Для первой плоскости нормаль будет перпендикулярна вектору i и проходить через точку m, поэтому она будет равна n1 = (1, -1, -1). Для второй плоскости нормаль будет перпендикулярна вектору k и проходить через точку m, поэтому она будет равна n2 = (1, -1, -1).

Теперь, зная две нормали плоскостей, можно найти угол между ними с помощью скалярного произведения нормалей. Формула для этого выглядит следующим образом:

cos(угол) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|),

где * - это скалярное произведение, а |n1| и |n2| - длины векторов n1 и n2 соответственно.

Используя формулу, мы можем вычислить угол между плоскостями.

Пример использования:
Задача: Найдите угол между плоскостями, проходящими через точку m(1, -1, -1), при условии, что одна плоскость содержит ось Ox, а другая содержит ось Oz.

Решение:
Вектор направления оси Ox, i = (1, 0, 0), вектор направления оси Oz, k = (0, 0, 1).
Точка m принадлежит обоим плоскостям, поэтому нормали плоскостей равны:
n1 = (1, -1, -1) и n2 = (1, -1, -1).
Длины векторов n1 и n2: |n1| = √(1^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √3 и |n2| = √(1^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √3.
Скалярное произведение нормалей: n1 * n2 = 1*1 + (-1)*(-1) + (-1)*(-1) = 3.
cos(угол) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|) = 3 / (√3 * √3) = 1.
Угол между плоскостями равен 0 градусов.

Совет: Для лучшего понимания материала рекомендуется углубиться в изучение векторов и их свойств, а также формулы для вычисления скалярного произведения и длины вектора. Постарайтесь решить несколько похожих задач самостоятельно, чтобы закрепить материал.

Упражнение:
Найдите угол между плоскостями, проходящими через точку a(2, -3, 4), при условии, что одна из плоскостей содержит ось оу, а другая содержит ось oz.