Какой корень имеет уравнение x=−3x+4/x−3, и если есть несколько корней, то укажите меньший корень в ответе?

Тема урока: Решение уравнения с одним корнем

Описание: Дано уравнение x = -3x + 4 / (x - 3). Нам требуется найти его корень или корни.

1. Начнем с упрощения уравнения. Умножим каждую часть на (x - 3), чтобы избавиться от дроби в правой части:
x(x - 3) = -3x(x - 3) + 4
Раскроем скобки:
x^2 - 3x = -3x^2 + 9x + 4

2. Теперь сложим все члены уравнения по одной стороне:
x^2 - 3x + 3x^2 - 9x - 4 = 0
Объединим подобные члены:
4x^2 - 12x - 4 = 0

3. Это квадратное уравнение, которое можно решить различными способами, например, через дискриминант или факторизацию. Воспользуемся методом дискриминанта.

4. Найдем значение дискриминанта (D):
D = b^2 - 4ac
Для нашего уравнения:
a = 4, b = -12, c = -4
D = (-12)^2 - 4 * 4 * (-4)
D = 144 + 64
D = 208

5. Если дискриминант положительный (D > 0), то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю (D = 0), уравнение имеет один корень. Если дискриминант отрицательный (D < 0), уравнение не имеет вещественных корней.

6. В нашем случае, уравнение имеет два различных корня, так как D > 0. Чтобы найти корни, можно воспользоваться формулой:
x = (-b ± √D) / 2a
Вычислим корни:
x = (-(-12) ± √208) / (2 * 4)
x = (12 ± √208) / 8

7. Сокращаем выражение:
x = (3 ± √52) / 2
Упрощаем корни:
x = (3 ± 2√13) / 2

8. Таким образом, корни уравнения x = -3x + 4 / (x - 3) равны:
x₁ = (3 + 2√13) / 2 и x₂ = (3 - 2√13) / 2

9. Согласно заданию, нужно указать меньший корень. Чтобы определить, какой корень меньший, можно сравнить числовые значения корней.

Совет: При решении уравнений, особенно квадратных, важно внимательно выполнять каждый шаг и не забывать упрощать выражения. Также полезно знать различные методы решения квадратных уравнений, чтобы выбрать наиболее удобный для конкретной задачи.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение x^2 + 5x + 6 = 0. Определите оба корня и укажите меньший корень в ответе.