Каковы скорости увеличения площади поверхности и объема шара в момент, когда его радиус достигает значения, которое

Тема урока: Скорость изменения площади поверхности и объема шара

Пояснение:
Когда мы рассматриваем изменение площади поверхности и объема шара в зависимости от изменения его радиуса, мы должны использовать производные. Производная показывает нам, какая будет скорость изменения заданной величины по отношению к изменению другой величины.

Для шара, с радиусом r, площадь его поверхности можно выразить через формулу S = 4πr^2, а объем - через формулу V = (4/3)πr^3.

Чтобы найти скорость изменения площади поверхности (dS/dt) и скорость изменения объема (dV/dt) в момент, когда радиус достигает определенного значения, нужно взять производные этих формул по времени и подставить текущее значение радиуса.

В итоге мы получим следующие формулы:
dS/dt = 8πr(dr/dt)
dV/dt = 4πr^2(dr/dt)

где dr/dt - скорость изменения радиуса со временем.

Демонстрация:
Предположим, у нас есть шар с радиусом 3 сантиметра, и радиус меняется со временем по формуле dr/dt = 2 сантиметра в секунду. Чтобы найти скорость изменения площади поверхности и объема в момент, когда радиус становится 3 сантиметра, мы можем использовать следующие формулы:

dS/dt = 8πr(dr/dt) = 8π(3)(2) = 48π сантиметров в квадрате в секунду
dV/dt = 4πr^2(dr/dt) = 4π(3)^2(2) = 72π сантиметра кубических в секунду

Таким образом, скорость изменения площади поверхности составляет 48π сантиметров в квадрате в секунду, а скорость изменения объема составляет 72π сантиметра кубических в секунду.

Совет:
Чтобы лучше понять эти формулы и как использовать производные для нахождения скорости изменения площади поверхности и объема, рекомендуется изучить основы дифференциального исчисления и производные функций. Примеры задач и практические упражнения помогут вам закрепить полученные знания.

Задача на проверку:
Если радиус шара увеличивается со скоростью 5 сантиметров в секунду, найдите скорость изменения площади поверхности и объема шара, когда его радиус равен 10 сантиметрам.