Каковы координаты точек экстремума функции y=4x−8cosx на интервале x∈[−π/2;π]?

Предмет вопроса: Максимумы и минимумы функций

Разъяснение:
Чтобы найти точки экстремума функции, нам нужно проанализировать ее производную. Производная функции - это скорость изменения функции по отношению к ее аргументу (x) или ее наклон.

Для данной функции y=4x−8cosx мы сначала найдем производную функции. Давайте возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого 4x равна 4.

Производная второго слагаемого -8cosx равна 8sinx, так как производная функции cosx равна -sinx.

Теперь сложим результаты:

y" = 4 + 8sinx

Для точек экстремума функции y=4x−8cosx производная должна быть равна нулю. Поэтому мы можем решить уравнение 4 + 8sinx = 0 и найти значение x, для которого это уравнение выполняется.

Аргумент функции sinx равен -1/2, когда x = -π/6 и x = 5π/6.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы подставим найденные значения x обратно в исходную функцию:

Для x = -π/6: y = 4(-π/6) - 8cos(-π/6) ≈ -2.93

Для x = 5π/6: y = 4(5π/6) - 8cos(5π/6) ≈ 1.07

Поэтому точками экстремума функции являются (-π/6, -2.93) и (5π/6, 1.07), где первое значение в скобках - это x-координата, а второе значение - y-координата.

Совет:
Чтобы лучше понять, как найти экстремумы функции, рекомендуется изучить основные понятия и методы дифференциального исчисления, включая производные и их применение.

Дополнительное упражнение:
Найдите точку экстремума функции y = 2x^3 - 9x^2 - 12x + 4 на интервале x ∈ [-2, 3].