Каковы четность и нечетность функций: а) f(x) = sin^2(x) / (x^2 - 1)? б) f(x) = cos(x^3) / (x(25 - x^2))? в) f(x

Содержание: Четность и нечетность функций

Описание:
Чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим, нам необходимо проанализировать ее симметрию относительно осей координат.

1) Функция f(x) называется четной, если для каждого значения x, f(x) = f(-x). Иначе говоря, график функции симметричен относительно оси y.

2) Функция f(x) называется нечетной, если для каждого значения x, f(x) = -f(-x). Другими словами, график функции симметричен относительно начала координат.

3) Функция, которая не обладает ни свойствами четности, ни свойствами нечетности, называется нечетной.

Дополнительный материал:

а) Для функции f(x) = sin^2(x) / (x^2 - 1)
- Чтобы проверить четность или нечетность функции, заменим x на -x:
f(-x) = sin^2(-x) / ((-x)^2 - 1)
= sin^2(-x) / (x^2 - 1)
= sin^2(x) / (x^2 - 1)
Таким образом, мы видим, что f(x) = f(-x), поэтому функция является четной.

б) Для функции f(x) = cos(x^3) / (x(25 - x^2))
- Заменяем x на -x:
f(-x) = cos((-x)^3) / (-x(25 - (-x)^2))
= cos(-x^3) / (-x(25 + x^2))
= cos(x^3) / (-x(25 + x^2))
≠ f(x) и не равно -f(x)
Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

в) Для функции f(x) = x^5 cos(3x)
- Подстановка -x вместо x:
f(-x) = (-x)^5 cos(3(-x))
= -x^5 cos(-3x)
= -x^5 cos(3x)
≠ f(x) и не равно -f(x)
Следовательно, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

г) Для функции f(x) = (4 + cos(x))(sin^6(x) - 1)
- Заменяем x на -x:
f(-x) = (4 + cos(-x))(sin^6(-x) - 1)
= (4 + cos(x))(sin^6(x) - 1)
= f(x)
Мы видим, что f(x) = f(-x), таким образом, это функция является четной.

Совет:
При проверке четности или нечетности функции, замена x на -x поможет вам упростить выражение и сравнить его с исходным выражением функции.

Проверочное упражнение:
Определите, являются ли функции четными, нечетными или ни тем, ни другим:
а) f(x) = x^2 + 3x
б) f(x) = e^(x^2) - e^(x)
в) f(x) = tan(x)
г) f(x) = x^3 - x^2 + x - 1