Каково сравнение числа 1+ корень из 15 и корень из 5 + корень?

Предмет вопроса: Сравнение чисел с использованием корней

Инструкция: Чтобы сравнить числа, содержащие корни, вам нужно установить, какое из них больше или меньше. Для этого воспользуемся неравенством.

Дано: $a = 1 + \sqrt{15}$ и $b = \sqrt{5} + \sqrt{7}$

Чтобы упростить задачу, начнем с выражения второго числа $($числа $b)$ и возведем его в квадрат:

$b^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{7})^2$

Раскроем скобки:

$b^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2$

$b^2 = 5 + 2\sqrt{35} + 7$

$b^2 = 12 + 2\sqrt{35}$

Теперь воспользуемся неравенством:

$a > b \text{, если и только если} a^2 > b^2$

$[(1 + \sqrt{15})]^2 > (12 + 2\sqrt{35})$

$1 + 2\sqrt{15} + 15 > 12 + 2\sqrt{35}$

$16 + 2\sqrt{15} > 12 + 2\sqrt{35}$

$4 > 2\sqrt{35} - 2\sqrt{15}$

Так как корни нельзя просто сложить или вычесть из-за различных радикалов, мы не можем упростить это дальше. Таким образом, мы не можем однозначно сказать, какое число больше: $1 + \sqrt{15}$ или $\sqrt{5} + \sqrt{7}$.

Совет: В задачах сравнения чисел, содержащих корни, всегда попробуйте привести выражения к более удобному виду, возможно возведя их в квадрат. Это может помочь вам упростить задачу.

Задача на проверку: Сравните числа: $2 + \sqrt{3}$ и $\sqrt{2} + 1$? Какое из них больше или меньше?