Каково решение неравенства: (x^2-3x-28)/(3x

Тема: Решение неравенств с рациональными функциями

Разъяснение: Для решения данного неравенства с рациональной функцией, нам следует использовать несколько шагов. Вначале мы должны определить значения переменной, при которых функция равна нулю или не существует. Затем мы будем анализировать интервалы, в которых функция положительна или отрицательна.

1. Найдем значения переменной, при которых функция становится нулевой или не существует. В данном случае, мы получаем x^2 - 3x - 28 = 0. Решаем данное квадратное уравнение и находим два значения, которые являются корнями: x = -4 и x = 7. Помимо этого, мы должны учесть, что значение x = 0 приводит к делению на ноль, поэтому это значение не подходит.

2. Теперь мы можем построить числовую прямую и разделить ее на три интервала, основываясь на найденных значениях: (-∞,-4), (-4,0), (0,7), (7,∞).

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак функции в каждой из этих точек. Используем определитель знака:

- Для интервала (-∞,-4) возьмем x = -5. Подставим значение -5 в исходное неравенство и получим (-5^2 - 3*(-5) - 28)/(3*(-5)) ≤ 0. Упрощая это неравенство, получаем -8/15 ≤ 0, что является верным утверждением.
- Для интервала (-4,0) возьмем x = -1. Подставляем значение -1 и получаем (-1^2 - 3*(-1) - 28)/(3*(-1)) ≤ 0. После упрощения получаем 22/3 ≥ 0, что не является верным утверждением.
- Для интервала (0,7) возьмем x = 1. Подставляем значение 1 и получаем (1^2 - 3*1 - 28)/(3*1) ≤ 0. Упрощая это неравенство, получаем -10/3 ≤ 0, что является верным утверждением.
- Для интервала (7,∞) возьмем х = 8. Подставляем значение 8 и получаем (8^2 - 3*8 - 28)/(3*8) ≤ 0. Упрощая это неравенство, получаем -1/3 ≤ 0, что является не верным утверждением.

4. Исходя из знаков функции в каждом интервале, мы можем заключить, что решение данного неравенства представлено следующим образом: x ∈ (-∞,-4] U [0,7].

Совет: При решении неравенств с рациональными функциями полезно визуализировать интервалы и использовать тестовые точки в каждом интервале для определения знаков функции.

Упражнение: Решите неравенство (2x+5)/(x-3) ≥ 0.