Каково наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8), если произведение положительных чисел a, b

Тема: Наименьшее значение выражения

Объяснение:
Чтобы найти наименьшее значение данного выражения, необходимо использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел.
Дано, что произведение положительных чисел a, b, c, d равно некоторому числу N.

Выражение можно представить в виде:
(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)

Обозначим их как A, B, C, D и E соответственно.

Используя неравенство, имеем:
(A*B*C*D*E)^(1/5) ≥ (A+B+C+D+E)/5

Из условия задачи известно, что A*B*C*D = N, поэтому:
N^(1/5) ≥ (A+B+C+D+E)/5

Чтобы найти наименьшее значение выражения, необходимо взять минимальное значение для A, B, C, D и E. В данном случае минимальное значение для всех переменных будет 1. Тогда получаем:
N^(1/5) ≥ (1+1+1+1+1)/5

Упрощая выражение, получаем:
N^(1/5) ≥ 1

Таким образом, наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8), при условии, что произведение положительных чисел a, b, c, d равно N, будет равно N^(1/5).

Дополнительный материал:
Пусть произведение положительных чисел a, b, c, d равно 16. Найдем наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8).

Обозначим это выражение как X.

X = (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)

Так как произведение равно 16, значит, a*b*c*d = 16.

X = (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8) = 16^(1/5)

X = 2

Таким образом, наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8), при условии, что произведение положительных чисел a, b, c, d равно 16, будет равно 2.

Совет:
Для более легкого понимания этой задачи, рекомендуется знать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел. Также помните, что если произведение положительных чисел задано, то наименьшее значение выражения будет достигаться, когда все переменные принимают свое минимальное значение.

Дополнительное задание:
Найдите наименьшее значение выражения (x+1)(2x+y)(2y+z)(2z+w)(w+8), если произведение положительных чисел x, y, z, w равно 81.