Каково наименьшее значение функции y=(x-12)e в степени(x-11) на интервале [10, 20]?

Тема: Минимальное значение функции

Инструкция: Для нахождения наименьшего значения функции необходимо найти точку экстремума на заданном интервале [10, 20]. Эта точка будет являться минимальным значением функции в данном интервале.

Шаг 1: Для начала, найдем производную функции y=(x-12)e^(x-11). Для этого можно использовать правило производной произведения функций, которое гласит:

d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx,

где u = (x-12) и v = e^(x-11).

Производная функции y=(x-12)e^(x-11) будет равна:

y" = (x-12)e^(x-11) + e^(x-11) * (1),

y" = (x-12)e^(x-11) + e^(x-11).

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

(x-12)e^(x-11) + e^(x-11) = 0.

e^(x-11) * (x-11+1) = 0.

Получаем, что x-11+1 = 0 или e^(x-11) = 0. Из степени e равной 0 следует, что x-11 = 0 и x = 11.

Шаг 3: Теперь проверим значение производной до и после точки x = 11.

Производная до x = 11:
y" = (10-12)e^(10-11) + e^(10-11),

Производная после x = 11:
y" = (12-12)e^(12-11) + e^(12-11).

Подставим числовые значения и упростим выражения:

y" = -1 * e^(-1) + e^(-1),

y" = e^(-1) -1 + e^(-1).

Шаг 4: Понимаем, что экспонента e^(-1) > 1, а также, что значение e^(-1) -1 + e^(-1) больше нуля.

Итак, мы получили, что наименьшее значение функции на интервале [10, 20] равно 0.

Совет: Для понимания процесса нахождения минимального значения функции, важно быть владеющим навыками дифференцирования и знать свойства экспоненциальных функций. При решении подобных задач следует тщательно проверять правильность полученных решений и убедиться, что найденные значения минимума действительно являются минимальными.

Проверочное упражнение: Найдите минимальное значение функции y = (3x^2 - 2x + 5) на интервале [-1, 2].